Kesäkilpailu

Tehtävä A

Tulin ratik­ka kasil­la oop­per­an pysäkille vai­h­taak­seni neloseen. Man­ner­heim­intieltä kul­kee neljä ratikkalin­jaa, 3,4,7 ja 10. Pysäkil­lä oli kak­si ratikkaa, joiden numeroa en näh­nyt. Kumpaankaan noista ratikoista en ehtisi. Toden­näköisyys, että toinen noista ratikoista olisi nelo­nen, oli siis 50 %. Yksinker­tais­taen piti tietysti olet­taa, että ratikoil­la on sama vuoroväli eivätkä vaunut olleet pois­sa aikataulus­taan niin, että pysäkil­lä voisi olla kak­si saman­nu­meroista ratikkaa peräkkäin. Oli siis 50 pros­entin toden­näköisyys, että jou­tu­isin odot­ta­maan nelostani maksimiajan.

Sit­ten näin, että jälkim­mäi­nen ratikoista oli kolmonen.

Päät­te­ly 1: Ensim­mäi­nen on siis joko nelo­nen, seiska tai kymp­pi. Mak­simiodotuk­sen toden­näköisyys on enää 33%.

Päät­te­ly 2: Tieto siitä, että toinen ei ole nelo­nen, ei vaiku­ta toden­näköisyy­teen mitään, kos­ka sen­hän jo tiesin. Sil­lä ei ole väliä, onko se ei-nelo­nen ensim­mäi­nen vai toinen eikä sil­läkään, onko se seiska, kol­mo­nen vai kymp­pi. Mak­simiodotuk­sen toden­näköisyys on yhä 50%.

Tehtävä B

Olet voit­tanut tele­vi­sion tietok­il­pailus­sa ja saat vali­ta palkin­non. Eteesi tuo­daan kolme väärin päin ole­vaa mukia, A, B ja C. Yhden niistä alla on raha ja kah­den alla ei mitään. Val­it­set sat­un­nais­es­ti yhden, sovi­taan että se on A. Sen jäl­keen kil­pailun jär­jestäjät näyt­tävät, että mukin B alla ei ole rahaa. Sin­ulle annetaan mah­dol­lisu­us vali­ta uud­estaan, vai­h­taa siis A:sta C:hen? Kan­nat­taako vaihdos?

Päät­te­ly 1: Vai­h­dos­ta ei ole hyö­tyä. On jäl­jel­lä kak­si yhtä toden­näköistä vai­h­toe­htoa, A ja C, joista molem­pi­en toden­näköisyys on 50%.

Päät­te­ly 2: Kan­nat­taa vai­h­taa, kos­ka toden­näköisyys, että raha on mukin A alla on edelleen 1/3, joten raha on toden­näköisyy­del­lä 2/3 mukin C alla.

 

Kesäk­il­pailumme ei koske sitä, mitkä päät­te­lyt ovat oikein, kos­ka se on liian help­po. Oikeat vas­tauk­set ovat A1 ja B2. Nyt kil­pailemme ped­a­gogisil­la kyvy­il­lä. Voit­ta­ja on se, joka pystyy yksinker­taisim­min selit­tämään, mik­si päät­te­ly 2 on oikein tehtävässä B mut­ta ei tehtävässä A.

Ilman ehdol­lisen toden­näköisyy­den käsitet­täkin pitäisi selvitä, mut­ta ei sen käyt­tö kiel­let­tyä ole.

======

Lisäys klo 20.

Minä luulin kir­joit­ta­neeni tehtävä B:n kysymyk­se­naset­telun yksiselit­teis­es­ti, mut­ta se on näköjään tulkit­tavis­sa toisinkin. Lisätään siis, että kil­pailun jär­jestäjä näyt­tää aina tyhjän mukin, kos­ka se kuu­luu kil­pailun sään­töi­hin. Jär­jestäjä myös tietää, mis­sä raha on, muuten­han hän ei voisi kään­tää tyhjää mukia. 

 

52 vastausta artikkeliin “Kesäkilpailu”

  1. A. Lähtöo­le­tuksin 4 ratikkalin­jal­la saadaan 6 eri­laista 2:n lin­jan kom­bi­naa­tio­ta, joista 3:ssa on mukana nelo­nen, eli 50%. Jos kuitenkin tiede­tään, että toinen on kol­mo­nen, mah­dol­lisuuk­sia on enää 3, joista yhdessä mukana nelo­nen eli ~33%. Hämäys on tuos­sa “sen­hän jo tiesinkin” kohdas­sa:) Joka tapauk­ses­sa nelosel­la on lyhin vuoroväli, eli ei ole niin dra­maat­tista, vaik­ka jou­tu­isi odot­ta­maan pidem­päänkin. Ja jos vai­h­taa vas­ta Lasi­palatsin edessä, neloseen tulee parem­min tilaa;)

  2. (Seiskas­sa ja kymp­is­sä on yleen­sä parem­min tilaa, eli matkus­tus­mukavu­u­den kannal­ta on oikeas­t­aan mukavampi, jos pääsee jom­mal­la kum­mal­la niistä Oop­per­an pysäk­iltä Lasipalatsille.)

  3. Eivätkö vas­tauk­set A1 ja B2 muis­tu­ta toisi­aan aika paljon? Molem­mis­sa toden­näköisyysavaru­ut­ta pienen­netään epäsym­metris­es­ti niin että ei-pois­sul­jet­tu­jen vai­h­toe­hto­jen toden­näköisyys kas­vaa. Anyway,

    Intu­iti­ivisem­pi esimerk­ki A:

    Lin­jal­la kul­kee 100 raitio­vaunua, joista pysäkille on seisah­tunut 99. Toden­näköisyys että 4 on näi­den joukos­sa on 99%. Vaunut ovat jo lait­ta­neet oven­sa kiin­ni, joten sisälle ei pääse. Osmo juok­see ratikka­jonon viertä nähdäk­seen onko numero 4 juuri lähdössä, jol­loin hän joutuu odot­ta­maan mak­sim­imäärän. Nähtyään ensim­mäiset 98 vaunua, häneltä on näkemät­tä enää lin­jat 4 ja 100. Onko nelosen toden­näköisyys muuttunut?

    Intu­iti­ivisem­pi esimerk­ki B:

    Eteesi tuo­daan 100 väärin päin ole­vaa mukia, joista yhden alla on rahaa. Valit­tuasi mukin, kil­pailun jär­jestäjät pal­jas­ta­vat 98 mukia joiden alla ei ole rahaa. Kan­nat­taako nyt vai­h­taa muki­in jota ei pal­jastet­tu ja jota et valinnut?

    Ped­a­gogi­nen selitys:

    Kun saat tietää että ensim­mäi­nen ratik­ka ei ole 4, tulee sul­je­tuk­si pois kaik­ki mah­dol­liset ratikkakon­fig­u­raa­tiot jois­sa ensim­mäi­nen ratik­ka *on* 4. Näistä tapauk­sista kaikissa 4 on jos­sain kohdas­sa pysäkkiä, kun taas niiden tapausten joukos­sa jos­sa 4 ei ole ensim­mäi­nen ratik­ka löy­tyy kon­fig­u­raa­tioi­ta jois­sa 4 ei ole pysäkil­lä ollenkaan. Täl­löin jäl­jelle jäävis­sä mah­dol­lisuuk­sis­sa on entistä enem­män kon­fig­u­raa­tioi­ta jois­sa 4 ei ole pysäkillä.

    Mukien tapauk­ses­sa sulkies­saan pois sen mah­dol­lisu­u­den että raha on B:n alla, kil­pailun jär­jestäjät anta­vat tietoa parista BC (kos­ka muista pareista ei kil­pail­i­jan valin­nan takia voi antaa tietoa). Ennen pal­jas­tus­ta tapauk­ses­sa jos­sa raha on B:n tai C:n alla, mukia vai­h­ta­mal­la sai rahat toden­näköisyy­del­lä 1/2. Pal­jas­tuk­sen jäl­keen rahat saa täl­laises­sa tapauk­ses­sa var­masti. Kos­ka täl­laisen tapauk­sen toden­näköisyys on 2/3 (eli posi­ti­ivi­nen), pal­jas­tus on tehnyt vai­h­tamis­es­ta kannattavampaa.

  4. Tehtävässä B kil­pailun jär­jestäjä tietää, mis­sä raha on, ja antaa vai­h­tom­ah­dol­lisu­u­den, kos­ka tietääm, että ensim­mäi­nen val­in­ta oli väärin. Näin saadaan lisää draa­maa ja korkeam­mat katsojaluvut.

  5. Rak­en­taisin puukuvaajan. 

    Ensim­mäisessä tapauk­ses­sa on kahdek­san lehteä — raitio­vaunu 1 voi olla jokin neljästä lin­jas­ta, kuten myös vaunu 2.

    Kun vaunu 1 tiede­tään, sulkeu­tuu kaik­ki neljä vau­nun 1 lehteä sekä yksi vau­nun 2 lehti, lin­ja 3. Jäl­jelle jää kolme lehteä, joista yksi on haet­tu tapaus.

    Toises­sa tapauk­ses­sa puu on eri­lainen: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Monty_tree_door1.svg

    Puul­la on vain neljä lehteä. Haarat kuvaa­vat alku­val­in­taa. Jos olet valin­nut tyhjän kupin, avaa jär­jestäjä toisen tyhjän kupin. Mut­ta jos olet valin­nut rahan sisältävän kupin, avaa juon­ta­ja jom­mankum­man kahdes­ta tyhjästä kupista.

    Vai­h­ta­mal­la voitat siis, jos val­it­sit alus­sa väärin ja häviät, jos olit valin­nut alus­sa oikein. Näin vai­h­don voit­to­to­den­näköisyys on 2/3.

  6. Tämähän oli kom­pate­htävä. Vas­taus A1 on analogi­nen vas­tauk­sen B2 kanssa, ei toisin päin. 

    Tehtävien intu­iti­iviseen selit­tämiseen aut­taa minus­ta seu­raa­va esimerk­ki: min­ul­la on kort­ti­pak­ka, jon­ka lev­itän eteesi ja saat vali­ta niistä vapaasti yhden kortin. Sen jäl­keen otan 51 kortista 50 pois ja näytän sin­ulle, ettei mikään niistä ole pataässä. Sit­ten kysyn, kumpi toden­näköisem­min on pataässä: alus­sa val­it­se­masi kort­ti vai se kort­ti, joka 51 kortista jäi jäl­jelle. Vas­tauk­sen osaa­vat läh­es kaik­ki intu­iti­ivis­es­ti, vaikkeivät olisi luke­neet toden­näköisyys­matem­ati­ikkaa yhään.

    Anta­mani esimerk­ki on analogi­nen esit­tämiesi esimerkkien kanssa, kos­ka olen ain­oas­taan lisän­nyt vai­h­toe­hto­jen määriä. Jos toden­näköisyys muut­tuu tässä tehtävässä, se muut­tuu myös antamis­sasi tehtävissä.

    Ja tämä siis min­un ped­a­gogi­nen panok­seni tehtäviisi.

  7. Kyse on siitä, antaako saatu lisäti­eto tosi­asi­as­sa jotakin lisätietoa.

    Raitio­vaunues­imerkissä ennen kuin saat lisäti­etoa on selvää, että toden­näköisyys, että nelo­nen on juuri nyt pysäkil­lä, on 50–50.

    Tietok­il­pailues­imerkissä ennen kuin saat lisäti­etoa on selvää, että toden­näköisyy­del­lä 1/3 val­it­se­masi muki on oikea, ja toden­näköisyy­del­lä 2/3 jokin muu.

    Raitio­vaunues­imerkissä, kun sat­tuman­varais­es­ti näet yhden raitio­vau­nun numeron, saat aidosti hyödyl­listä uut­ta infor­maa­tio­ta. Olisi voin­ut käy­dä niinkin, että näkemäsi numero olisi ollut nelo­nen, mut­ta niin ei vain täl­lä ker­taa sat­tunut käymään — olet siis saanut tietoa. Tämän saa­masi uuden infor­maa­tion perus­teel­la voit arvioi­da tilanteen uudelleen päät­te­lyn 1 mukaisesti.

    Tietok­il­pailus­sa et saa todel­lista lisäin­for­maa­tio­ta siitä, onko raha mukin A vai jonkun muun mukin alla. Siinä aina jär­jestäjät tahal­laan val­it­se­vat näytet­täväk­si sel­l­aisen kupin B, jon­ka alla ei ole rahaa, minkä oikeas­t­aan tietää jo etukä­teen. Et siis saa mitään uut­ta infor­maa­tio­ta siitä, onko raha mukin A alla vai ei, joten päät­te­ly 2 on oikea.

    SEN SIJAAN jos tieto­vi­sailues­imerkissä valit­tuasi mukin A jostakin sat­tuman­varais­es­ta syys­tä käy niin, että muki B kaatuu ja pal­jas­tuu tyhjäk­si, täl­löin saat uut­ta infor­maa­tio­ta, kos­ka olisi voin­ut käy­dä niinkin, että mukissa B olisi ollut palk­in­to. Täl­löin päät­te­ly 1 olisikin oikea.

    Vas­taavasti raitio­vaunues­imerkissä, jos pysäkil­lä olisi epäavu­lias savolainen, joka kyl­lä tietäisi raitio­vaunu­jen numerot, mut­ta vas­taisi kysymyk­si­isi vält­täen hyödyl­lisen infor­maa­tion antamista:
    Osmo: Anteek­si, onko­han jom­pikumpi näistä raitio­vaunuista nelonen?
    Savolainen: Suat­taapi­han tuo olla tai olla olemat­tan­nii, tuo toinen on kyl­lä kolomonen.
    Täl­löin et olisi saanut hyödyl­listä infor­maa­tio­ta, kos­ka savolainen ei olisi kuitenkaan ker­tonut sin­ulle, vaik­ka pysäkil­lä olisi ollut nelo­nen. Savolais­es­ta tiesi jo etukä­teen, ettei sieltä mitään hyödyl­listä tietoa tule. Nyt siis toden­näköisyys, että jom­pikumpi pysäkil­lä ole­vista on nelo­nen, on edelleen 50 % ja päät­te­ly 2 olisikin oikein.

  8. Toden­näköisyys perus­tuu aina siihen tietoon, joka on käytet­tävis­sä. Molem­mis­sa tapauk­sis­sa saadaan tilanteesta lisää tietoa, joka vaikut­taa todennäköisyyteen. 

    Muk­i­ta­paus on sik­si eri­lainen, että jär­jestäjät TIETÄVÄT, kumpi muki on var­masti tyhjä ja voidaan näyt­tää. Jär­jestäjien tiedon toden­näköisyys on 100 %. Kun tästä tiedos­ta osa ker­ro­taan kil­pail­i­jalle, voidaan laskea uusi toden­näköisyys B2. 

    Tämän oival­t­a­mi­nen aut­taa tehtävän ymmärtämisessä.

  9. Eri­lainen päät­te­ly B‑tehtävään:

    Jälkim­mäisessä tapauk­ses­sa on kyseessä peli­ti­lanne, jos­sa jär­jestäjät yrit­tävät mak­si­moi­da etun­sa (min­i­moi­da TV:n mene­tyk­sen tai mak­si­moi­da pelaa­jan julkisen häpeän, mikäli sow on TV:ssä).

    Ole­tus on, että jär­jestäjät tietävät, mis­sä lant­ti on.

    Jos pelaa­ja olisi valin­nut mukin, jon­ka alla ei ole lant­tia, jär­jestäjät oli­si­vat kään­täneet sen: Game over!

    Kos­ka pelaa­ja val­it­si oikean mukin, jär­jestäjien etu­na on saa­da hänet muut­ta­maan päätök­sen­sä ja he anta­vat siihen mahdollisuuden.

    Näil­lä ole­tuksin pelaa­jana en muut­taisi val­in­taani, vaan pysy­isin A:ssa.

  10. Voit­ta­ja on se, joka pystyy yksinker­taisim­min selittämään,

    Kyl­lähän tähän yksinker­taisia seli­tyk­siä kek­sii, ongel­ma on, että suurel­la osal­la ihmisiä ei tun­nu ole­van kap­a­siteet­tia ymmärtää vas­taus­ta (äo alle 70?) sen enem­pää yksinker­taisel­la kuin mon­imutkaisel­la selitykselläkään.

    Kan­nat­taa vai­h­taa, kos­ka toden­näköisyys, että raha on mukin A alla on edelleen 1/3,

    Minä aikanaan pitkän pohdin­nan jäl­keen selvitin tämän itsel­leni ajat­tele­mal­la, että mukien B ja C toden­näköisyys yhdessä on 2/3. Se, että tuos­ta mukiparista pal­jaste­taan lisää infor­maa­tio­ta (ei ole B:n alla) ei muu­ta tuo­ta yhteistodennäköisyyttä.

    (Tehtävä­nan­toa pitää myös tarken­taa niin, että mukin kään­täjä tiesi että muki B on tyhjä. Jos mukin B alla olisi ollut palk­in­to, muki C olisi kän­net­ty. Eli kolme tapaus­ta: palk­in­to A:ssa. vai­h­to ei kan­na­ta. Palk­in­to B:ssä, C kään­netään ja vai­h­to kan­nat­taa. Palk­in­to C:ssä, B kään­netään ja vai­h­to kan­nat­taa. Eli kak­si kolmes­ta ker­ras­ta kan­nat­taa vaihtaa.)

  11. Ollessani sovel­letun tao­lusti­eteen assis­tent­ti Sven­s­ka Mit­tuni­ver­sitetetetetis­sä (Kes­ki-Ruotsin yliopis­to), joka epä­to­den­näköis­es­ti ja yllät­täen sijait­see Pohjois-Tan­skas­sa, me ja juuri me jär­jes­timme tuon kuu­luisan kuppikokeen. 

    Kokeeseen osal­lis­tui toista tuhat­ta opiske­li­jaa. Vaival­oisin osa oli jär­jestää jokainen koe­henkilö TV:n visailu­o­hjel­maan. Osa piti lähet­tää vuosikym­meniksi vieraisi­in mai­hin han­kki­maan maan kansalaisu­us ja siten visailu­oikeus. Turhaut­tavaa oli myäs, kun tietyis­sä visailuis­sa annet­ti­in niin iso­ja palk­in­to­ja (esim. auto­ja) että ne eivät mah­tuneet kun­nol­la teekup­pi­en alle.

    Julka­isimme viimein tulok­set Metaph­sics Today ‑lehdessä mar­rasku­us­sa 48 vuo­den tutkimisen ja parin kahvi­tauon jäl­keen. Sen­saa­tiomais­es­ti kävi ilmi, että ne, jot­ka vai­h­toi­vat ensim­mäisen kupin kään­nön jäl­keen veikkaus­taan, eivät voit­ta­neet yhtään sen use­am­min kuin ne, jot­ka pitäy­tyivät alku­peräisessä arvauksessaan.

    Nyt Kes­ki-Ruotsin yliopis­to on aloit­tanut uuden tutkimuk­sen selvit­tääk­seen “hvar, i hel­vet, betjy­der dette” (nehän tiet­ty puhuu tan­skaa siel­lä). Käsit­tääk­seni asian selvit­tämisek­si on yliopis­toon jo han­kit­tu 600 ele­fant­tia ja luu­ta. Tarkem­min en osaa ker­toa, kos­ka vai­h­doin sit­tem­min uraa ja siivoan nykyään ase­matun­nelin Hes­en vessoja. 

    Matkaa oop­per­at­alolle on sen ver­ran, että tuo­hon toiseen ongel­maan en osaa sanoa kuin että kan­nat­ta ottaa yhteyt­tä Tanskaan.

  12. Helpoin tapa ajatel­la tätä lie­nee se, että jälkim­mäisessä tapauk­ses­sa kisan jär­jestäjät tietävät minkä mukin alla palk­in­to on, ja siis avaa­vat jom­mankum­man niistä joiden­ka alla se *ei* ole. Ei siis ole mah­dol­lista, että he nos­taisi­vat sen kupin jos­sa palk­in­to on, vaan he val­it­se­vat aina kahdes­ta vai­h­toe­hdos­ta (kol­men sijaan). Ratikkat­a­pauk­ses­sa taas olisi kyl­lä ollut mah­dol­lista, että näkemäsi ratik­ka olisi ollut nelo­nen, mut­ta niin ei nyt käynyt.

  13. Kos­ka mä en oo vieläkään ymmärtänyt, tei­dän pitää jatkaa… Ja mikä on kon­fig­u­raa­tio? Toi ei ainakaan oo mitään yksinker­tas­ta selittämistä. 

    Vas­ta kun mä ymmär­rän, on peli ratkennut. 

    Mikä on muuten palk­in­to? Elina?

  14. B2:sta olen toden­nut itsel­leni intu­iti­ivisim­mak­si seu­raa­van selityksen:

    On kak­si strate­giaa, “vai­h­to” ja “ei vaihtoa”.

    On helpohko tode­ta, että ensin­mainit­tu johtaa voit­toon aina, kun ensin valit­tu muki on väärä. Tämä on asian­lai­ta 2/3 toden­näköisyy­del­lä. Niin ikään jälkim­mäi­nen strate­gia on voitokas aina, kun on valit­tu heti ker­ral­la oikea muki, mikä tapah­tuu 1/3 todennäköisyydellä.

    Siten kan­nat­taa pela­ta vai­h­tostrate­gial­la, kos­ka se on 2/3 toden­näköisyy­del­lä voitokas.

  15. B2 päät­te­ly pätee ain­oas­taan siinä tapauk­ses­sa, että sin­ulle on etukä­teen ker­rot­tu, että kil­pailun jär­jestäjät pal­jas­ta­vat toisen mukin. Muuten he voivat pal­jas­taa toisen mukin esimerkik­si vain niis­sä tapauk­sis­sa kun olet valin­nut mukin jos­sa on voitto.

  16. Soitinkin sit­ten itse Kes­ki-Ruotsin yliopis­to­to­to­toon. Lupa­si­vat lähet­tää sel­l­aiset isot kyltit katoille laitet­tavak­si. Niistä näkee myös takaapäin numero, ettei tarvi laskea todennäköisyyksiä. 

    Ilmoit­ti­vat vielä, että toden­näköisyy­det ovat luul­tavasti sit­tenkin sosi­aa­li­nen kon­struk­tio. Todis­tus liit­tyi jotenkin nor­sui­hin. Tai luu­taan. Joka tapauk­ses­sa arvailu on kuulem­ma toden­näköis­es­ti tyh­mää, kos­ka voi kysyä vaik­ka kuskilta.

    Käsit­tääk­seni voitin nyt tämän kesäk­isan. Voisitko Osmo ilmoit­taa, mis­tä palkin­non saa hakea ja pitääkö olla oma kup­pi mukana?

    1. Kakkospäät­te­ly on oikein B‑tapauksessa. Tässä voi intui­itio vähän pet­tää. Tämä tehtävä oli julk­is­du­udessa jokin vuosi sitten.
      sil­loin arvo­val­taiset matemaqatikotkin menivät halpaan.

  17. Ajat­telin­pa tuon väärin ensi lukemalta. 

    A‑tehtävä eroaa B:stä siinä, että nähty ratik­ka olisi saat­tanut olla nelo­nen, kun taas mukite­htävässä juon­ta­ja nimeno­maan avaa tarkoituk­sel­la kupin, jon­ka alla ei ole mitään.

    Eli A‑tehtävä olisi analogi­nen sel­l­aisen kort­ti­pakkaes­imerkin kanssa, jos­sa 51 kortista sat­un­nais­es­ti val­i­taan 50 ja mikään niistä ei osoit­taudu pataässäk­si jol­loin toden­näköisyys, että ensin valit­tu kort­ti oli pataässä kas­vaa 1/52:sta 1/2:een.

  18. Tuoreen STT:n uutisen mukaan junat myöhästelevät usei­ta päiviä. Matkus­ta­jalle on kyl­lä aivan sama on juna torstain tai per­jan­tain juna, kun­han se vain tulee oikeaan kellonaikaan.

    1. Tuo B‑tehtävä oli van­ha. Jostakin syys­tä se oli kuitenkin aikanaan onnis­tunut sekoit­ta­maan jopa muu­ta­man oikean matemaatikon pään. Koko tämän tehtävän juju olikin siinä, mik­si B‑tehtävän päät­te­ly ei toi­mi A‑tehtävässä. Se olisi pätenyt, jos olisin saanut vas­tauk­sen kysymyk­seen, onko pysäkil­lä kol­mo­nen. Myön­teinen tai kiel­teinen vas­taus tähän kysymyk­seen ei olisi muut­tanut käsi­tys­tä siitä, että toinen ratik­ka on nelo­nen toden­näköisyy­del­lä 0,5, mut­ta tieto, että jälkim­mäi­nen ragtik­ka on kol­mo­nen alen­si nelosen toden­näköisyy­den 0,33:een. Tämä on ilmeistä, mut­ta se piti osa­ta selit­tää niin että jokainen ymmärtää.

  19. Onko tuo B:n tehtäväku­vaus riit­tävän hyvin määritel­ty, so. ker­tooko se tilanteen riit­täväl­lä tarkkuudella?

    Olete­taan että etsitään ratkaisua todel­lises­sa TV-pelis­sä. Miten seu­raavien on ole­tusten paikkansapitävyys:

    - jär­jestäjä tietää minkä mukin alla lant­ti sijaitsee,
    — jär­jestäjä pyrkii estämään sen että kil­pail­i­ja ei voita,
    — jär­jestäjä ei tiedä mitä strate­giaa pelaa­ja noudattaa,
    — pelaa­ja on paineen alla, miljoo­nan silmä­parin kohteena, ja hänen on reagoita­va nopeasti,
    — jär­jestäjä voi halutes­saan päät­tää pelin eduk­seen siinä tapauk­ses­sa, että pelaa­jan ensim­mäi­nen vali­ta on väärä.

    Tehtävä on toisen­lainen siinä tapauk­ses­sa, että jär­jestäjä ei keskeytä peliä, mikäli pelaa­jan ensim­mäi­nen val­in­ta on A.

  20. Mikäli kil­pailun jär­jestäjät pal­jas­ta­vat väärän mukin joka tapauk­ses­sa, on päät­te­ly B2 väärin. Tässä tapauk­ses­sa sin­ul­la on todel­lisu­udessa tasan kak­si mukia mis­tä vali­ta, kol­mas on vain hämäys­tä. Sel­ven­netään asi­aa hie­man esimerkillä.

    Olete­taan rahan ole­van mukin A alla. Val­it­set mukin A, jär­jestäjä näyt­tää mukin B/C ole­van tyhjä. Toden­näköisyys 50–50. Val­it­set mukin B/C, jär­jestäjä näyt­tää näistä sen mitä et valin­nut. Toden­näköisyys edelleen 50–50.

    Jär­jestäjän strate­gia toki vaikut­taa asi­aan, mikäli he näyt­tävät tyhjän ain­oas­taan valit­tuasi oikean/väärän, riip­puu vai­h­don järkevyys pelat­tavas­ta strategiasta.

    Mikäli jär­jestäjä kään­tää sat­tuman­varaisen mukin, tietämät­tä onko sen alla kolikkoa vai ei, on edessä uusi toden­näköisyys­lasku muut­tuneen tilanteen joh­dos­ta. 1/3 toden­näköisyy­del­lä kolikko on kään­netyn mukin alla, 2/3 toden­näköisyy­del­lä jonkin muun mukin alla. Rahan ollessa val­i­tun kolikon alla, peli päät­tyy. Kään­netyn mukin ollessa tyhjä, on toden­näköisyys muiden mukien välil­lä 50–50, eli päät­te­ly B2 ei toi­mi edelleenkään.

    Sum­ma sum­mar­i­um, pelat­tavas­ta strate­gias­ta riip­puen jär­jestäjä vaikut­taa toden­näköisyy­teesi pelin alus­ta läh­tien, vai­h­toti­lanteessa on aina 50–50 toden­näköisyys mikäli et tunne vastapuolen strategiaa.

  21. Niin­hän se tietenkin on, että toden­näköisyys muut­tuu vain, jos kil­pailun jär­jestäjä tietää, minkä kupin alla palk­in­to on ja toimii tiedon perus­teel­la kään­tämäl­lä tyhjän kupin. Vielä kil­pail­i­jan täy­tyy tietää kaik­ki tuo. Muuten toden­näköisyys ei tietenkään muu­tu mik­sikään kupin kään­tämisen jälkeen.

    Siinä muo­dos­sa kuin Soin­in­vaara prob­leemin esit­ti ei voi vielä tietää oikeaa vas­taus­ta, kos­ka hän ei ker­tonut täyt­tyivätkö em. ehdot.

    Tämän ker­toi min­ulle puhe­limes­sa eräs erit­täin älykkään oloinen tanskalaisnorsu.

  22. Veikkaan että kyse on vedä­tyk­ses­tä jol­la pyritään osoit­ta­maan kuin­ka help­poa ihmisiä on johtaa harhaan kun väit­teen sanoo arvostet­tu tilas­toti­eteil­i­jä / poli­itikko. Molem­mis­sa vas­taus on 1.

  23. Tuli­pa sekoil­tua ihan urakalla. Eli ensim­mäisessä strate­gias­sa, jos­sa jär­jestäjä näyt­tää aina tyhjän on vai­h­to todel­lakin kan­nat­ta­va. Eli raha edelleen mukin A alla.

    Val­it­set mukin A, jär­jestäjä näyt­tää mukin B ole­van tyhjä. Vai­h­to ei kan­na­ta. Val­it­see mukin B, C tyhjä => vai­h­to kan­nat­taa, sama valit­taes­sa muki C. Eli kolmes­ta tapauk­ses­ta ain­oas­taan yhdessä, eli jos­sa ensim­mäisek­si valit­tu on oikein, ei vai­h­to kan­na­ta. Vai­h­to siis kan­nat­taa 2/3 todennäköisyydellä.

  24. San­terin päät­te­ly klo 18.17 päivä­tyssä viestis­sä ei toi­mi. B‑tehtävän alus­sa on aidosti kolme mukia mis­tä vali­ta. Toden­näköisyys osua oikeaan on 1/3. Ajat­telet liian nopeasti liian pitkälle. Alus­sa kil­pail­i­jal­la ei ole muu­ta tietoa kuin se, että yksi kolmes­ta on oikea val­in­ta. Ja niin se todel­la onkin ilman mitään “hämäys­tä”.

    Ole­tus strate­gias­ta, jos­sa jär­jestäjä avaisi yhden mukin vain tietyssä tilanteessa, ei kuu­lunut tehtävään. Ei myöskään sat­tuman­varaisen mukin kään­tämi­nen, vaan nimeno­maan tyhjän mukin. Ideana on antaa kisaa­jalle lisää tietoa, jon­ka perus­teel­la toden­näköisyys muuttuu. 

    Asian voi esit­tää näin: kil­pail­i­ja val­it­see mukin A. On toden­näköisyys yksi kolmes­ta, että se on oikein. Kolme yhtä toden­näköistä vai­h­toe­htoa ovat nämä: 

    1. A oikea, b tyhjä, c tyhjä.
    2. a tyhjä, B oikea, c tyhjä.
    3. a tyhjä, b tyhjä, C oikea. 

    Tässä tilanteessa jär­jestäjä ottaa yhden tyhjän mukin pois, joko b:n tai c:n, mut­ta siis ei a:ta. Tilanne muut­tuu uuden tiedon myötä näin, että vai­h­toe­htoiset asetel­mat ovat nämä: 

    1. A oikea, jäl­jelle jäänyt muki tyhjä
    2. a tyhjä, B oikea
    3. a tyhjä, C oikea. 

    Näistä kolmes­ta vai­h­toe­hdos­ta onkin nyt kak­si sel­l­aista, että mukia kan­nat­taa vai­h­taa ja vain yhdessä tapauk­ses­sa ei kan­na­ta. Sik­si päät­te­ly B2 tosi­aan toimii.

  25. (Kuten jo ker­rot­tu, tehtävä B:ssä pitäisi parem­min ilmaista, että pelin sään­nöt tosi­aan menevät niin, että jär­jestäjät tietävät, mis­sä palk­in­to on, ja aina oman valin­nan jäl­keen näyt­tävät yhden tyhjän riip­pumat­ta siitä, oliko alku­peräi­nen val­in­ta oikein vai väärin.)

    Jos nyt lyhyesti yritetään tapausten eroa selvit­tää, niin point­ti on siinä, että tehtävässä B pal­jas­ta­jal­la oli tieto palkin­non sijain­nista ja har­ven­nus­ta tehti­in niin, ettei ollut mah­dol­lista osua palk­in­toon. Sat­un­nais­es­ti nähty vaunu sen sijaan olisi voin­ut olla se oikeakin. Sik­si vain vaunuta­pauk­ses­sa toden­näköisyys muuttuu.

  26. San­teri Oksasen logi­ik­ka on hyvin vaku­ut­ta­va, mut­ta jos muke­ja olisikin miljoona, ja kun olet valin­nut yhden kaik­ki pait­si yksi muista kään­netään, on hyvin houkut­tel­e­vaa ajatel­la, että et osunut oikeaan 1/1000 000 vaan oikea on se toinen.

  27. Osal­lis­tu­ak­seni varsi­naiseen kil­pailu­un, tässä ped­a­gogi­nen demon­straa­tio, jol­la saa ehkä ymmärtämät­tömätkin tajua­maan eron :).

    Ote­taan kolme kip­poa ja piilote­taan sat­un­nais­es­ti yhden alle palk­in­to. Toinen henkilö, joka ei tiedä, mis­sä palk­in­to on, val­it­see yhden kipon ja lait­taa sor­men päälle. Tapaus A vas­taa sitä, että kol­mas palkin­nos­ta tietämätön val­it­see toisen jäl­jelle jääneistä kipoista ja avaa sen. Tapaus B vas­taa sitä, että palkin­non piilot­tanut avaa aina tyhjän kipon tietäen, ettei voi osua palkintoon.

    Kun merkataan P=palkinto, T=tyhjä, tapauk­ses­sa A on seu­raa­vat mah­dol­lisu­udet ennen toisen kipon sisäl­lön näkemistä:

    PT (1/3 * 1) = 1/3
    TT (2/3 * 1/2) = 1/3
    TP (2/3 * 1/2) = 1/3

    Jos tiede­tään, että viimeinen ei olekaan enää mah­dolli­nen, jäl­jelle jää kak­si yhtä toden­näköistä vai­h­toe­htoa PT ja TT, joiden molem­pi­en toden­näköisyys on siis 1/2.

    Tapauk­ses­sa B sen sijaan on vain seu­raa­vat vaihtoehdot:

    PT (1/3 * 1) = 1/3
    TT (2/3 * 1) = 2/3

    1. Tapaus B on tul­lut mielestäni mon­en vas­taa­jan kaut­ta hyvin esite­tyk­si (huo­mat­takoon, että tämä on tuot­tanut pään­vaivaa jopa oikeille matemaatikoille, vaik­ka asi­as­sa ei min­unkaan mielestäni ole mitään kum­mallista) Tapaus A sen sijaan ei ole auen­nut yhtä hyvin. Jos saan tietää, että jälkim­mäi­nen ratikoista ei ole nelo­nen, miten se vaikut­taa asi­aan, kos­ka tiedän, että toinen ei ole. Täs­men­netään ongel­maa tapauk­sel­la C, joka on muuten sama kuin A, mut­ta en itse näe ratikan numeroi­ta, mut­ta saan muuten tietää, että pysäkil­lä on kol­mo­nen, ensim­mäisenä tai toise­na. Myös tässä tapauk­ses­sa toden­näisyys sille, että pysäkille on myös nelo­nen, on laskenut 33 pros­ent­ti­in, vaik­ka minähän tiedän, että vähin­tään toinen ratikoista on jokin muu kuin nelo­nen, eikä tieto muiden numeroista ole min­ulle mitenkään relevantti. 

  28. Savolainen: Suat­taapi­han tuo olla tai olla olemat­tan­nii, tuo toinen on kyl­lä kolomonen.
    Täl­löin et olisi saanut hyödyl­listä infor­maa­tio­ta, kos­ka savolainen ei olisi kuitenkaan ker­tonut sin­ulle, vaik­ka pysäkil­lä olisi ollut nelo­nen. Savolais­es­ta tiesi jo etukä­teen, ettei sieltä mitään hyödyl­listä tietoa tule. Nyt siis toden­näköisyys, että jom­pikumpi pysäkil­lä ole­vista on nelo­nen, on edelleen 50 % ja päät­te­ly 2 olisikin oikein.

    Tuo Har­ri Haan­pään ajatuk­sen­juok­su vas­tasi omaani, mut­ta sen täy­tyy olla väärin. Jos olisi tot­ta, että tuon savolaisen pal­jas­tuk­sen jäl­keen olisi edelleen 50 pros­entin toden­näköisyys sille, että pysäkil­lä on myös nelo­nen, olisi sym­metris­es­ti sama 50 pros­entin toden­näköisyys myös sil­lä, että pysäkille on kymp­pi tai seiska. Yhteen­sä siis 150 %.

  29. Tieto siitä, että toinen ratikoista ei ole nelo­nen, on alun alka­enkin epäoleelli­nen. Vas­taavasti voi sanoa, että tiesit alun alkenkin, että 2+2=4 ja 2+2=4 edelleenkin uuden infor­maa­tion saamisen jäl­keen. Siitä huoli­mat­ta sitä uut­ta infor­maa­tio­ta kysymyk­seen liit­tyen tuli ja kaikkien vai­h­toe­hto­jen lukumäärä väheni ja toden­näköisyy­det muut­tui­v­at, kun osa sul­jet­ti­in pois.

    Yksi tapa ajatel­la asi­aa on pistää kaik­ki 24 yhtä toden­näköistä per­muaa­tio­ta jonoon (1234, 1243, 1324, 1342 jne.). Alun alka­enkaan ei ole sel­l­aista vai­h­toe­htoa, että kak­si viimeistä oli­si­vat samo­ja. Mut­ta saatu infor­maa­tio kar­sii osan pois. 

    Mut­ta nyt lauan­tai­ta viettämään :).

  30. Luu­len­pa, että Har­rin ajatuk­sen­juok­su oli kuin olikin oikea. Tehtävä olisi pysynyt täs­mälleen samana, vaik­ka nähty ratik­ka olisi ollut 7 tai 10, mut­ta olisi muut­tunut, jos se olisi ollut nelo­nen. 4, 7 ja 10 eivät siis ole tasaar­voises­sa asemassa.

  31. Jos sin­ulle ker­ro­taan SATTUMANVARAISESTI, että toinen on jokin muu kuin nelo­nen, niin sil­loin jäl­jelle jää yksi ratik­ka ja kolme vai­h­toe­htoa => 33% tod.näk. Sat­tuman­varais­es­ti ker­rot­tuna tosin joka neljäs ker­ta saat kuul­la, että toinen oli nelo­nen, jol­loin odotu­saikasi on joka tapauk­ses­sa maksimi.

    Tämä eroaa tehtävästä B juuri tuon klo 20 tekemäsi lisäyk­sen takia. Siinä pal­jas­tus­ta ei tehdä sattumanvaraisesti.

  32. B‑tapauksen kuvauk­ses­sa pitäisi maini­ta, että kil­pailun jär­jestäjä tietää, mis­sä lant­ti on, ja että jär­jestäjä avaa vain kupin, jon­ka alla ei ole kolikkoa.

  33. Tapauk­ses­sa 1 ei voi tul­la mak­si­mi odotus­ta, jos viimeisenä pysäkil­lä ole­va ratik­ka on joku muu kuin nelo­nen. Kun ker­ran pysäkil­lä ole­va viimeinen ratik­ka on kol­mo­nen on pisin odotu­saikakin kolmoseen.

  34. Osmolle klo 21:02 ja Jaakolle 21:25:

    Niin, nelo­nen ei ole tässä sym­metri­nen seiskan ja kympin kanssa, kos­ka ajatel­tu epäavu­lias savolainen akti­ivis­es­ti vält­tää ker­tomas­ta nelos­es­ta mitään, mut­ta seiskaa ja kymp­piä hän ei samal­la tavoin eri­tyis­es­ti vältä.

    —–

    Toinen tapa ajatel­la asiaa:
    Neljästä ensim­mäis­es­tä raitio­vaunus­ta yksi on nelo­nen, kukin toden­näköisyy­del­lä 1/4. Nyt sat­tumoisin — ja tämä sat­tuma ei mitenkään riipu siitä, mikä raitio­vaunu on mikäkin — saamme tietää, että toinen raitio­vaunu ei ole nelo­nen. Yksi kolmes­ta jäl­jel­läol­ev­as­ta siis on nelo­nen, eikä ole mitään, mikä noiden muiden vaunu­jen sym­me­tri­an rikkoisi, joten toden­näköisyys lisätiedon jäl­keen on 1/3.

    Tietok­il­pailues­imerkissä taas tyhjäk­si pal­jastet­tavaa mukia ei vali­ta sat­un­nais­es­ti. Ehkä tämä on se, mikä tietok­il­pailues­imerkissä harhaut­taa intuitiota.

    Tapauk­ses­sa C, jos­sa saat tietää, että toinen pysäkil­lä ole­vista vaunuista on kol­mo­nen, pitäisi jälleen tietää, mil­laisen pros­essin tulok­se­na saat tietää, että pysäkil­lä on kol­mo­nen. Oletko siis saanut tietoosi a) umpimähkäisen pysäkil­lä ole­van vau­nun numeron, joka vain sat­tui ole­maan kol­mo­nen b) umpimähkäisen pysäkil­lä ole­van ei-nelosen numeron c) onko vai eikö pysäkil­lä ole kolmosta?

    Tapaus C a) on lähin­nä tuo aikaisem­pi tapaus A1, tapaus C b) on oleel­lis­es­ti tuo epäavu­lias savolainen ‑tapaus, ja tapauk­ses­sa C c) voitaisi­in kuvitel­la vaik­ka, että pääset havain­noimaan, juok­seeko kaup­pako­rkeak­oul­ulle matkalla ole­va tut­tusi pysäkille.

    Tuo viimeinen C c) olisi suo­ravi­ivaista ehdol­lista todennäköisyyttä:
    P(pysäkillä on nelo­nen kun tiede­tään, että pysäkil­lä on kol­mo­nen) = P(pysäkillä on nelo­nen ja kol­mo­nen) / P(pysäkillä on kolmonen).

    Käsiä heilut­taen toden­näköisyys tuos­sakin olisi 1/3: jos pysäkil­lä on kol­mo­nen, neloselle on yksi mah­dolli­nen paik­ka pysäkil­lä ja kak­si muual­la (tai toisin ajatellen, se toinen pysäkil­lä ole­va vaunu voi ihan yhtä hyvin olla 4, 7 tai 10 (tämä sym­me­tria-argu­ment­ti toimii kivasti myös alku­peräiseen tapauk­seen A)).

    1. Tehtävä A oli tarkoitet­tu hämäyk­sek­si, muta onnis­tu­in het­kek­si hämäämään myös itseni. Hyvä osoi­tus ajatuk­sen joh­dateltavu­ud­es­ta. Joh­da­tus meni siis näin:
      Kos­ka pysäkil­lä on kak­si ratikkaa, vähin­tään yhden niistä on olta­va jokin muu kuin nelo­nen. Sik­si tiedon siitä, että siel­lä on jokin muu, ei pitäisi vaikut­taa nelosen toden­näköisyy­teen mitään. Eikä senkään, että tuo jokin muu on kol­mo­nen. Jos tieto siitä, että tuo jokin muu on nimeno­maan kol­mo­nen vaikut­taisi toden­näköisyy­teen toisen olla nelo­nen, sil­loin vaikut­taisi myös tieto siitä, että tuo jokin muu on seiska tai kymp­pi. Mik­si tieto siitä, mikä on sen toisen numero, vaikut­taa toden­näköisyy­teen, että se toinen on nelo­nen. Päät­te­ly on help­po osoit­taa virheel­lisek­si laske­mal­la tämä oikien (vaik­ka luet­tele­mal­la ne 24 per­mu­taa­tio­ta) mut­ta piti siis selit­tää ver­baalis­es­ti, mikä päätelyssä on väärin.

  35. Onnis­tu­in selit­tämään logi­ikan lop­ul­ta itsel­leni ajat­tele­mal­la lot­toa: Min­ul­la on kädessä yksi lot­torivi ja viereisel­lä lavetil­la on lop­ut noin 15,38 miljoon­aa mah­dol­lista riv­iä. Arvon­nan jäl­keen ennen tulok­sen julka­isua virkail­i­ja hakee lavetil­ta kaik­ki pait­si yhden kupon­gin, sanoo että pois­te­tut riv­it eivät voit­ta­neet ja kysyy halu­anko vai­h­taa kuponkia. Kyse on lop­ul­takin samas­ta asetel­mas­ta mut­ta pienem­mässä mit­takaavas­sa. Aina oppii jotakin uutta 🙂

  36. Soin­in­vaara: “Täs­men­netään ongel­maa tapauk­sel­la C, joka on muuten sama kuin A, mut­ta en itse näe ratikan numeroi­ta, mut­ta saan muuten tietää, että pysäkil­lä on kol­mo­nen, ensim­mäisenä tai toise­na. Myös tässä tapauk­ses­sa toden­näisyys sille, että pysäkille on myös nelo­nen, on laskenut 33 pros­ent­ti­in, vaik­ka minähän tiedän, että vähin­tään toinen ratikoista on jokin muu kuin nelo­nen, eikä tieto muiden numeroista ole min­ulle mitenkään relevantti.”

    Toden­näköisyys sille, että “vähin­tään toinen ratikoista on jokin muu kuin nelo­nen” on sama kuin “vähin­tään toinen on 3,7 tai 10”. Tieto siitä, että “pysäkil­lä on kol­mo­nen, ensim­mäisenä tai toise­na” tuo selvästi lisäti­etoa tilanteesta, sil­lä se tarken­taa ensim­mäistä väitet­tä (vaik­ka lisäti­eto ei intu­iti­ivis­es­ti vaiku­ta aut­ta­van), ja sik­si toden­näköisyys muuttuu.

    Ehkä ymmär­ret­tävin tapa on tehtä eri tapauk­sista 4x4-taulukot, jol­laisia on alla yritet­ty merkki­grafi­ikalla. Vaaka­su­un­nas­sa on ensim­mäi­nen ratik­ka ja pysty­su­un­nas­sa jälkimmäinen.

    s=suotuisa, mah­dolli­nen tapaus
    m=mahdollinen, ei-suo­tu­isa tapaus
    e=ei mah­dolli­nen tapaus

    Toden­näköisyys on luon­nol­lis­es­ti taulukon suo­tu­is­ten solu­jen sum­ma jaet­tuna mah­dol­lis­ten solu­jen sum­mal­la, eli s/(s+m).

    Tapaus A, alku­ti­lanne, tod.näk 6/12=50%
    3470
    3esmm
    4sess
    7msem
    0msme

    Tapaus A, lop­puti­lanne, tod.näk 1/3=33%
    3470
    3esmm
    4eeee
    7eeee
    0eeee

    Tapaus C, lop­puti­lanne, tod.näk. 2/6=33%
    3470
    3esmm
    4seee
    7meee
    0meee

    Kan­nat­taa huo­ma­ta, että tapausten A ja C lop­puti­lanne on eri, vaik­ka toden­näköisyys onkin sama.

  37. Neljästä ratikas­ta {a,b,c,d} voi muo­dostaa 4 yli 2 eli 6 kah­den osajoukkoa {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}(ratikoiden järjestyk­sil­lä joukois­sa ei ole väliä). Ratik­ka d (Osmon 4) esi­in­tyy 3:ssa näistä. Siis toden­näköisyys on 3/6 =1/2.
    Jos toinen näistä on c, niin jäl­jelle jää 3 vai­h­toe­htoa, {a,c},{b,c},{c,d}. Näistä vain yksi mah­dol­lisu­us on ratik­ka numero d (Osmon esimerkissä numero 4). Toden­näköisyys sille on siis 1/3.

  38. No siis, jos nähdään ettei toinen (jälkim­mäi­nen) ole nelo­nen, niin sil­lä on infor­maa­tioar­vo. Jär­jeste­ty­il­lä pareil­la ajatel­tuna tämä selviää. Itse en osaa ajatel­la näitä muuten kuin formaalisti.

  39. Voit­ta­ja on se, joka pystyy yksinker­taisim­min selit­tämään, mik­si päät­te­ly 2 on oikein tehtävässä B mut­ta ei tehtävässä A.

    En nyt ole lukenut vielä vas­tauk­sia, mut­ta jo tämä kysymys on min­ulle epäselvä. 

    Päät­te­ly kun on minus­ta sama kum­mas­sakin tapauk­ses­sa. Ratikka­ju­tun alku ei sinän­sä min­ua hämän­nyt mitenkään.

  40. Vielä ker­ran tiivis­tet­tynä lauan­tai­höyry­jen laskeudut­tua: se oleelli­nen ero nois­sa tilanteis­sa on, että vaunuta­pauk­ses­sa nähty vaunu olisi voin­ut olla nelo­nen, pal­jastet­tu muki sen sijaan ei olisi voin­ut sisältää palk­in­toa. Sik­si tilanne on eri ja toden­näköisyys muut­tuu vain ensim­mäisessä tapauk­ses­sa lisäin­for­maa­tion ansiosta.

  41. A‑tehtävässä nelosen toden­näköisyys ei itse asi­as­sa muu­tu jos henkilö saa tietää toisen ratikan numeron. Nelosen toden­näköisyys on aina yksi neljästä. Se voi olla siinä ensim­mäisenä, mut­ta yhtä hyvin se saat­taa tul­la viimeisenä. 

    B‑tehtävässä oikean valin­nan toden­näköisyys on aluk­si yksi kolmes­ta. Jär­jestäjän toimit­ta­ma kup­pikään­tö muut­taa tilan­net­ta, kos­ka jär­jestäjän olete­taan tietävän, mis­sä kolikko on, ja kään­tävän aina kupin, jon­ka alla ei ole kolikkoa. Kään­nön jäl­keen alun­perin val­i­tun kupin toden­näköisyys on vähäisem­pi kuin 1/3. En osaa sanoa, mikä tuo toden­näköisyys­luke­ma olisi.

    Joka tapauk­ses­sa tässä on olen­nainen ero sikäli, että ratikkak­er­to­muk­ses­sa on tiedonväl­i­tyk­sen sat­un­naisu­ut­ta, mut­ta kup­pi­ju­tus­sa maail­ma ker­too meille asioiden oikeas­ta laidas­ta. Tästähän pari kom­men­toi­jaa jo huomautti.

  42. Muk­i­ta­pauk­ses­sa toden­näköisyys olla A on pienem­pi kuin toden­näköisyys olla B tai C eli 1/2. Kun muki B kään­netään ja se on tyhjä, toden­näköisyys on edelleen sama kuin alus­sa eli 1/2. Vai­h­to kan­nat­taa. Eikös se näin mene.

    Loto­ssa voi kysyä, onko toden­näköisem­pää, että on joku muu rivi kuin 1,2,3,4,5,6,7 on oikea. Tämä on vähän sama kuin se mukiongelma.

  43. Ratikka­ju­tus­sa jäl­jelle jäävien vai­h­toe­hto­jen toden­näköisyy­det pysyvät samoina suh­teessa toisi­in­sa, eli 1/3, 1/3 ja 1/3. Kup­pi­ju­tus­sa toden­näköisyy­det eri­lais­tu­vat, 1/3 ja 2/3, vaik­ka intu­itio vah­vasti sanookin, että jos meil­lä ker­ran on kak­si kup­pia, niin oikean valin­nan toden­näköisyys on puo­likas. Ja tämä ero johtuu siitä, että ratikkat­a­pauk­ses­sa maail­mal­la ei ole pref­er­ensse­jä ratikoiden välil­lä, kun taas kup­pi­ta­pauk­ses­sa pelin sään­nöt kieltävät jär­jestäjää val­it­se­mas­ta kolikkokup­pia. Edel­lisessä meitä infor­moidaan sokeasti ja valikoimat­ta, jälkim­mäisessä tietäen ja harkitusti.

  44. A. Toden­näköisyys, että 4 on pysäkil­lä, on aluk­si 50 %.
    Jos vika ratik­ka on 4, se onkin 100 %.
    Jos vika ratik­ka on 3, 7 tai 10, se onkin P.

    Mui­ta mahik­sia ei ole, ja kukin tapaus on yhtä toden­näköi­nen, joten noiden tapausten keskiar­vo on 50 %, joten P < 50 %.

    (Tarkem­min: (100 % + 3*P)/4 = 50 % eli P = 33 %.)

    B. Jos raha on A:ssa (1/3), voitan vaihtamatta.
    Jos raha on B/C:ssä (2/3), voitan vaihtamalla.
    Siis kan­nat­taa vaihtaa.

    C. Mik­si sama A‑logiikka ei kel­paa B:ssä?

    Päin­vas­toin, sama logi­ik­ka kel­paa: kun kysy­it: “onko B tai C vail­la rahaa”, vas­taus ei muut­tanut B/C‑todennäköisyyttä P = 2/3 (kos­ka vas­taus ei antanut lisäti­etoa), mut­ta jos olisitkin kysynyt: “Onko B vail­la rahaa”, vas­taus olisi muut­tanut B/C‑todennäköisyyttä (ei: 100 %, joo: 50 %).

    D. Jok­erikysymys: mis­sä kohtaa Oden kieroa A2-perustelua oli virhe? Vastaus:

    Eka virke:
    “Tieto siitä, että toinen ei ole nelo­nen, ei vaiku­ta toden­näköisyy­teen mitään, kos­ka sen­hän jo tiesin.”

    on valet­ta, kos­ka et tien­nyt, että jälkim­mäi­nen ratik­ka on nelo­nen (mikäli “toinen” = “jälkim­mäi­nen”).

    Jos taas “toinen” tarkoit­taa “jom­pikumpi”, niin koko päät­telyssäsi A2 hyö­dyn­nät vain sitä tietoa, että jom­pikumpi on ei‑4 (minkä tiesit jo kat­so­mat­takin), mut­tet lainkaan hyö­dyn­nä sitä tietoa, että jälkim­mäi­nen on ei‑4.

    Täl­löin virhe onkin vikas­sa virk­keessä (jon­ka alku­un pitäisi lisätä: “jos ei olisi mui­ta lisätietoja”).

Vastaa käyttäjälle Professori Wikstrand-Pöljä Peruuta vastaus

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *

Notify me of followup comments via e-mail. You can also subscribe without commenting.