Kesäkilpailu

Teh­tä­vä A

Tulin ratik­ka kasil­la oop­pe­ran pysä­kil­le vaih­taak­se­ni nelo­seen. Man­ner­hei­min­tiel­tä kul­kee nel­jä ratik­ka­lin­jaa, 3,4,7 ja 10. Pysä­kil­lä oli kak­si ratik­kaa, joi­den nume­roa en näh­nyt. Kum­paan­kaan nois­ta rati­kois­ta en ehti­si. Toden­nä­köi­syys, että toi­nen nois­ta rati­kois­ta oli­si nelo­nen, oli siis 50 %. Yksin­ker­tais­taen piti tie­tys­ti olet­taa, että rati­koil­la on sama vuo­ro­vä­li eivät­kä vau­nut olleet pois­sa aika­tau­lus­taan niin, että pysä­kil­lä voi­si olla kak­si saman­nu­me­rois­ta ratik­kaa peräk­käin. Oli siis 50 pro­sen­tin toden­nä­köi­syys, että jou­tui­sin odot­ta­maan nelos­ta­ni maksimiajan.

Sit­ten näin, että jäl­kim­mäi­nen rati­kois­ta oli kolmonen.

Päät­te­ly 1: Ensim­mäi­nen on siis joko nelo­nen, seis­ka tai kymp­pi. Mak­si­mio­do­tuk­sen toden­nä­köi­syys on enää 33%.

Päät­te­ly 2: Tie­to sii­tä, että toi­nen ei ole nelo­nen, ei vai­ku­ta toden­nä­köi­syy­teen mitään, kos­ka sen­hän jo tie­sin. Sil­lä ei ole väliä, onko se ei-nelo­nen ensim­mäi­nen vai toi­nen eikä sil­lä­kään, onko se seis­ka, kol­mo­nen vai kymp­pi. Mak­si­mio­do­tuk­sen toden­nä­köi­syys on yhä 50%.

Teh­tä­vä B

Olet voit­ta­nut tele­vi­sion tie­to­kil­pai­lus­sa ja saat vali­ta pal­kin­non. Etee­si tuo­daan kol­me vää­rin päin ole­vaa mukia, A, B ja C. Yhden niis­tä alla on raha ja kah­den alla ei mitään. Valit­set satun­nai­ses­ti yhden, sovi­taan että se on A. Sen jäl­keen kil­pai­lun jär­jes­tä­jät näyt­tä­vät, että mukin B alla ei ole rahaa. Sinul­le anne­taan mah­dol­li­suus vali­ta uudes­taan, vaih­taa siis A:sta C:hen? Kan­nat­taa­ko vaihdos?

Päät­te­ly 1: Vaih­dos­ta ei ole hyö­tyä. On jäl­jel­lä kak­si yhtä toden­nä­köis­tä vaih­toeh­toa, A ja C, jois­ta molem­pien toden­nä­köi­syys on 50%.

Päät­te­ly 2: Kan­nat­taa vaih­taa, kos­ka toden­nä­köi­syys, että raha on mukin A alla on edel­leen 1/3, joten raha on toden­nä­köi­syy­del­lä 2/3 mukin C alla.

 

Kesä­kil­pai­lum­me ei kos­ke sitä, mit­kä päät­te­lyt ovat oikein, kos­ka se on lii­an help­po. Oikeat vas­tauk­set ovat A1 ja B2. Nyt kil­pai­lem­me peda­go­gi­sil­la kyvyil­lä. Voit­ta­ja on se, joka pys­tyy yksin­ker­tai­sim­min selit­tä­mään, mik­si päät­te­ly 2 on oikein teh­tä­väs­sä B mut­ta ei teh­tä­väs­sä A.

Ilman ehdol­li­sen toden­nä­köi­syy­den käsi­tet­tä­kin pitäi­si sel­vi­tä, mut­ta ei sen käyt­tö kiel­let­tyä ole.

======

Lisäys klo 20.

Minä luu­lin kir­joit­ta­nee­ni teh­tä­vä B:n kysy­myk­se­na­set­te­lun yksi­se­lit­tei­ses­ti, mut­ta se on näkö­jään tul­kit­ta­vis­sa toi­sin­kin. Lisä­tään siis, että kil­pai­lun jär­jes­tä­jä näyt­tää aina tyh­jän mukin, kos­ka se kuu­luu kil­pai­lun sään­töi­hin. Jär­jes­tä­jä myös tie­tää, mis­sä raha on, muu­ten­han hän ei voi­si kään­tää tyh­jää mukia. 

 

52 vastausta artikkeliin “Kesäkilpailu”

  1. A. Läh­tö­ole­tuk­sin 4 ratik­ka­lin­jal­la saa­daan 6 eri­lais­ta 2:n lin­jan kom­bi­naa­tio­ta, jois­ta 3:ssa on muka­na nelo­nen, eli 50%. Jos kui­ten­kin tie­de­tään, että toi­nen on kol­mo­nen, mah­dol­li­suuk­sia on enää 3, jois­ta yhdes­sä muka­na nelo­nen eli ~33%. Hämäys on tuos­sa “sen­hän jo tie­sin­kin” koh­das­sa:) Joka tapauk­ses­sa nelo­sel­la on lyhin vuo­ro­vä­li, eli ei ole niin dra­maat­tis­ta, vaik­ka jou­tui­si odot­ta­maan pidem­pään­kin. Ja jos vaih­taa vas­ta Lasi­pa­lat­sin edes­sä, nelo­seen tulee parem­min tilaa;)

  2. (Seis­kas­sa ja kym­pis­sä on yleen­sä parem­min tilaa, eli mat­kus­tus­mu­ka­vuu­den kan­nal­ta on oikeas­taan muka­vam­pi, jos pää­see jom­mal­la kum­mal­la niis­tä Oop­pe­ran pysä­kil­tä Lasipalatsille.)

  3. Eivät­kö vas­tauk­set A1 ja B2 muis­tu­ta toi­si­aan aika pal­jon? Molem­mis­sa toden­nä­köi­syy­sa­va­ruut­ta pie­nen­ne­tään epä­sym­met­ri­ses­ti niin että ei-pois­sul­jet­tu­jen vaih­toeh­to­jen toden­nä­köi­syys kas­vaa. Anyway,

    Intui­tii­vi­sem­pi esi­merk­ki A:

    Lin­jal­la kul­kee 100 rai­tio­vau­nua, jois­ta pysä­kil­le on sei­sah­tu­nut 99. Toden­nä­köi­syys että 4 on näi­den jou­kos­sa on 99%. Vau­nut ovat jo lait­ta­neet oven­sa kiin­ni, joten sisäl­le ei pää­se. Osmo juok­see ratik­ka­jo­non vier­tä näh­däk­seen onko nume­ro 4 juu­ri läh­dös­sä, jol­loin hän jou­tuu odot­ta­maan mak­si­mi­mää­rän. Näh­ty­ään ensim­mäi­set 98 vau­nua, hänel­tä on näke­mät­tä enää lin­jat 4 ja 100. Onko nelo­sen toden­nä­köi­syys muuttunut?

    Intui­tii­vi­sem­pi esi­merk­ki B:

    Etee­si tuo­daan 100 vää­rin päin ole­vaa mukia, jois­ta yhden alla on rahaa. Valit­tua­si mukin, kil­pai­lun jär­jes­tä­jät pal­jas­ta­vat 98 mukia joi­den alla ei ole rahaa. Kan­nat­taa­ko nyt vaih­taa mukiin jota ei pal­jas­tet­tu ja jota et valinnut?

    Peda­go­gi­nen selitys:

    Kun saat tie­tää että ensim­mäi­nen ratik­ka ei ole 4, tulee sul­je­tuk­si pois kaik­ki mah­dol­li­set ratik­ka­kon­fi­gu­raa­tiot jois­sa ensim­mäi­nen ratik­ka *on* 4. Näis­tä tapauk­sis­ta kai­kis­sa 4 on jos­sain koh­das­sa pysäk­kiä, kun taas nii­den tapaus­ten jou­kos­sa jos­sa 4 ei ole ensim­mäi­nen ratik­ka löy­tyy kon­fi­gu­raa­tioi­ta jois­sa 4 ei ole pysä­kil­lä ollen­kaan. Täl­löin jäl­jel­le jää­vis­sä mah­dol­li­suuk­sis­sa on entis­tä enem­män kon­fi­gu­raa­tioi­ta jois­sa 4 ei ole pysäkillä.

    Mukien tapauk­ses­sa sul­kies­saan pois sen mah­dol­li­suu­den että raha on B:n alla, kil­pai­lun jär­jes­tä­jät anta­vat tie­toa paris­ta BC (kos­ka muis­ta pareis­ta ei kil­pai­li­jan valin­nan takia voi antaa tie­toa). Ennen pal­jas­tus­ta tapauk­ses­sa jos­sa raha on B:n tai C:n alla, mukia vaih­ta­mal­la sai rahat toden­nä­köi­syy­del­lä 1/2. Pal­jas­tuk­sen jäl­keen rahat saa täl­lai­ses­sa tapauk­ses­sa var­mas­ti. Kos­ka täl­lai­sen tapauk­sen toden­nä­köi­syys on 2/3 (eli posi­tii­vi­nen), pal­jas­tus on teh­nyt vaih­ta­mi­ses­ta kannattavampaa.

  4. Teh­tä­väs­sä B kil­pai­lun jär­jes­tä­jä tie­tää, mis­sä raha on, ja antaa vaih­to­mah­dol­li­suu­den, kos­ka tie­tääm, että ensim­mäi­nen valin­ta oli vää­rin. Näin saa­daan lisää draa­maa ja kor­keam­mat katsojaluvut.

  5. Raken­tai­sin puukuvaajan. 

    Ensim­mäi­ses­sä tapauk­ses­sa on kah­dek­san leh­teä — rai­tio­vau­nu 1 voi olla jokin nel­jäs­tä lin­jas­ta, kuten myös vau­nu 2.

    Kun vau­nu 1 tie­de­tään, sul­keu­tuu kaik­ki nel­jä vau­nun 1 leh­teä sekä yksi vau­nun 2 leh­ti, lin­ja 3. Jäl­jel­le jää kol­me leh­teä, jois­ta yksi on haet­tu tapaus.

    Toi­ses­sa tapauk­ses­sa puu on eri­lai­nen: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Monty_tree_door1.svg

    Puul­la on vain nel­jä leh­teä. Haa­rat kuvaa­vat alku­va­lin­taa. Jos olet valin­nut tyh­jän kupin, avaa jär­jes­tä­jä toi­sen tyh­jän kupin. Mut­ta jos olet valin­nut rahan sisäl­tä­vän kupin, avaa juon­ta­ja jom­man­kum­man kah­des­ta tyh­jäs­tä kupista.

    Vaih­ta­mal­la voi­tat siis, jos valit­sit alus­sa vää­rin ja häviät, jos olit valin­nut alus­sa oikein. Näin vaih­don voit­to­to­den­nä­köi­syys on 2/3.

  6. Tämä­hän oli kom­pa­teh­tä­vä. Vas­taus A1 on ana­lo­gi­nen vas­tauk­sen B2 kans­sa, ei toi­sin päin. 

    Teh­tä­vien intui­tii­vi­seen selit­tä­mi­seen aut­taa minus­ta seu­raa­va esi­merk­ki: minul­la on kort­ti­pak­ka, jon­ka levi­tän etee­si ja saat vali­ta niis­tä vapaas­ti yhden kor­tin. Sen jäl­keen otan 51 kor­tis­ta 50 pois ja näy­tän sinul­le, ettei mikään niis­tä ole pata­äs­sä. Sit­ten kysyn, kum­pi toden­nä­köi­sem­min on pata­äs­sä: alus­sa valit­se­ma­si kort­ti vai se kort­ti, joka 51 kor­tis­ta jäi jäl­jel­le. Vas­tauk­sen osaa­vat lähes kaik­ki intui­tii­vi­ses­ti, vaik­kei­vät oli­si luke­neet toden­nä­köi­syys­ma­te­ma­tiik­kaa yhään.

    Anta­ma­ni esi­merk­ki on ana­lo­gi­nen esit­tä­mie­si esi­merk­kien kans­sa, kos­ka olen ainoas­taan lisän­nyt vaih­toeh­to­jen mää­riä. Jos toden­nä­köi­syys muut­tuu täs­sä teh­tä­väs­sä, se muut­tuu myös anta­mis­sa­si tehtävissä.

    Ja tämä siis minun peda­go­gi­nen panok­se­ni tehtäviisi.

  7. Kyse on sii­tä, antaa­ko saa­tu lisä­tie­to tosia­sias­sa jota­kin lisätietoa.

    Rai­tio­vau­nue­si­mer­kis­sä ennen kuin saat lisä­tie­toa on sel­vää, että toden­nä­köi­syys, että nelo­nen on juu­ri nyt pysä­kil­lä, on 50–50.

    Tie­to­kil­pai­lue­si­mer­kis­sä ennen kuin saat lisä­tie­toa on sel­vää, että toden­nä­köi­syy­del­lä 1/3 valit­se­ma­si muki on oikea, ja toden­nä­köi­syy­del­lä 2/3 jokin muu.

    Rai­tio­vau­nue­si­mer­kis­sä, kun sat­tu­man­va­rai­ses­ti näet yhden rai­tio­vau­nun nume­ron, saat aidos­ti hyö­dyl­lis­tä uut­ta infor­maa­tio­ta. Oli­si voi­nut käy­dä niin­kin, että näke­mä­si nume­ro oli­si ollut nelo­nen, mut­ta niin ei vain täl­lä ker­taa sat­tu­nut käy­mään — olet siis saa­nut tie­toa. Tämän saa­ma­si uuden infor­maa­tion perus­teel­la voit arvioi­da tilan­teen uudel­leen päät­te­lyn 1 mukaisesti.

    Tie­to­kil­pai­lus­sa et saa todel­lis­ta lisäin­for­maa­tio­ta sii­tä, onko raha mukin A vai jon­kun muun mukin alla. Sii­nä aina jär­jes­tä­jät tahal­laan valit­se­vat näy­tet­tä­väk­si sel­lai­sen kupin B, jon­ka alla ei ole rahaa, min­kä oikeas­taan tie­tää jo etu­kä­teen. Et siis saa mitään uut­ta infor­maa­tio­ta sii­tä, onko raha mukin A alla vai ei, joten päät­te­ly 2 on oikea.

    SEN SIJAAN jos tie­to­vi­sai­lue­si­mer­kis­sä valit­tua­si mukin A jos­ta­kin sat­tu­man­va­rai­ses­ta syys­tä käy niin, että muki B kaa­tuu ja pal­jas­tuu tyh­jäk­si, täl­löin saat uut­ta infor­maa­tio­ta, kos­ka oli­si voi­nut käy­dä niin­kin, että mukis­sa B oli­si ollut pal­kin­to. Täl­löin päät­te­ly 1 oli­si­kin oikea.

    Vas­taa­vas­ti rai­tio­vau­nue­si­mer­kis­sä, jos pysä­kil­lä oli­si epä­avu­lias savo­lai­nen, joka kyl­lä tie­täi­si rai­tio­vau­nu­jen nume­rot, mut­ta vas­tai­si kysy­myk­sii­si vält­täen hyö­dyl­li­sen infor­maa­tion antamista:
    Osmo: Anteek­si, onko­han jom­pi­kum­pi näis­tä rai­tio­vau­nuis­ta nelonen?
    Savo­lai­nen: Suat­taa­pi­han tuo olla tai olla ole­mat­tan­nii, tuo toi­nen on kyl­lä kolomonen.
    Täl­löin et oli­si saa­nut hyö­dyl­lis­tä infor­maa­tio­ta, kos­ka savo­lai­nen ei oli­si kui­ten­kaan ker­to­nut sinul­le, vaik­ka pysä­kil­lä oli­si ollut nelo­nen. Savo­lai­ses­ta tie­si jo etu­kä­teen, ettei siel­tä mitään hyö­dyl­lis­tä tie­toa tule. Nyt siis toden­nä­köi­syys, että jom­pi­kum­pi pysä­kil­lä ole­vis­ta on nelo­nen, on edel­leen 50 % ja päät­te­ly 2 oli­si­kin oikein.

  8. Toden­nä­köi­syys perus­tuu aina sii­hen tie­toon, joka on käy­tet­tä­vis­sä. Molem­mis­sa tapauk­sis­sa saa­daan tilan­tees­ta lisää tie­toa, joka vai­kut­taa todennäköisyyteen. 

    Muki­ta­paus on sik­si eri­lai­nen, että jär­jes­tä­jät TIETÄVÄT, kum­pi muki on var­mas­ti tyh­jä ja voi­daan näyt­tää. Jär­jes­tä­jien tie­don toden­nä­köi­syys on 100 %. Kun täs­tä tie­dos­ta osa ker­ro­taan kil­pai­li­jal­le, voi­daan las­kea uusi toden­nä­köi­syys B2

    Tämän oival­ta­mi­nen aut­taa teh­tä­vän ymmärtämisessä.

  9. Eri­lai­nen päät­te­ly B‑tehtävään:

    Jäl­kim­mäi­ses­sä tapauk­ses­sa on kysees­sä peli­ti­lan­ne, jos­sa jär­jes­tä­jät yrit­tä­vät mak­si­moi­da etun­sa (mini­moi­da TV:n mene­tyk­sen tai mak­si­moi­da pelaa­jan jul­ki­sen häpeän, mikä­li sow on TV:ssä).

    Ole­tus on, että jär­jes­tä­jät tie­tä­vät, mis­sä lant­ti on.

    Jos pelaa­ja oli­si valin­nut mukin, jon­ka alla ei ole lant­tia, jär­jes­tä­jät oli­si­vat kään­tä­neet sen: Game over!

    Kos­ka pelaa­ja valit­si oikean mukin, jär­jes­tä­jien etu­na on saa­da hänet muut­ta­maan pää­tök­sen­sä ja he anta­vat sii­hen mahdollisuuden.

    Näil­lä ole­tuk­sin pelaa­ja­na en muut­tai­si valin­taa­ni, vaan pysyi­sin A:ssa.

  10. Voit­ta­ja on se, joka pys­tyy yksin­ker­tai­sim­min selittämään,

    Kyl­lä­hän tähän yksin­ker­tai­sia seli­tyk­siä kek­sii, ongel­ma on, että suu­rel­la osal­la ihmi­siä ei tun­nu ole­van kapa­si­teet­tia ymmär­tää vas­taus­ta (äo alle 70?) sen enem­pää yksin­ker­tai­sel­la kuin moni­mut­kai­sel­la selitykselläkään.

    Kan­nat­taa vaih­taa, kos­ka toden­nä­köi­syys, että raha on mukin A alla on edel­leen 1/3,

    Minä aika­naan pit­kän poh­din­nan jäl­keen sel­vi­tin tämän itsel­le­ni ajat­te­le­mal­la, että mukien B ja C toden­nä­köi­syys yhdes­sä on 2/3. Se, että tuos­ta muki­pa­ris­ta pal­jas­te­taan lisää infor­maa­tio­ta (ei ole B:n alla) ei muu­ta tuo­ta yhteistodennäköisyyttä.

    (Teh­tä­vän­an­toa pitää myös tar­ken­taa niin, että mukin kään­tä­jä tie­si että muki B on tyh­jä. Jos mukin B alla oli­si ollut pal­kin­to, muki C oli­si kän­net­ty. Eli kol­me tapaus­ta: pal­kin­to A:ssa. vaih­to ei kan­na­ta. Pal­kin­to B:ssä, C kään­ne­tään ja vaih­to kan­nat­taa. Pal­kin­to C:ssä, B kään­ne­tään ja vaih­to kan­nat­taa. Eli kak­si kol­mes­ta ker­ras­ta kan­nat­taa vaihtaa.)

  11. Olles­sa­ni sovel­le­tun tao­lus­tie­teen assis­tent­ti Svens­ka Mit­tu­ni­ver­si­te­te­te­te­tis­sä (Kes­ki-Ruot­sin yli­opis­to), joka epä­to­den­nä­köi­ses­ti ja yllät­täen sijait­see Poh­jois-Tans­kas­sa, me ja juu­ri me jär­jes­tim­me tuon kuu­lui­san kuppikokeen. 

    Kokee­seen osal­lis­tui tois­ta tuhat­ta opis­ke­li­jaa. Vai­va­loi­sin osa oli jär­jes­tää jokai­nen koe­hen­ki­lö TV:n visai­luoh­jel­maan. Osa piti lähet­tää vuo­si­kym­me­nik­si vie­rai­siin mai­hin hank­ki­maan maan kan­sa­lai­suus ja siten visai­luoi­keus. Tur­haut­ta­vaa oli myäs, kun tie­tyis­sä visai­luis­sa annet­tiin niin iso­ja pal­kin­to­ja (esim. auto­ja) että ne eivät mah­tu­neet kun­nol­la tee­kup­pien alle.

    Jul­kai­sim­me vii­mein tulok­set Metaph­sics Today ‑leh­des­sä mar­ras­kuus­sa 48 vuo­den tut­ki­mi­sen ja parin kah­vi­tauon jäl­keen. Sen­saa­tio­mai­ses­ti kävi ilmi, että ne, jot­ka vaih­toi­vat ensim­mäi­sen kupin kään­nön jäl­keen veik­kaus­taan, eivät voit­ta­neet yhtään sen useam­min kuin ne, jot­ka pitäy­tyi­vät alku­pe­räi­ses­sä arvauksessaan.

    Nyt Kes­ki-Ruot­sin yli­opis­to on aloit­ta­nut uuden tut­ki­muk­sen sel­vit­tääk­seen “hvar, i hel­vet, bet­jy­der det­te” (nehän tiet­ty puhuu tans­kaa siel­lä). Käsit­tääk­se­ni asian sel­vit­tä­mi­sek­si on yli­opis­toon jo han­kit­tu 600 ele­fant­tia ja luu­ta. Tar­kem­min en osaa ker­toa, kos­ka vaih­doin sit­tem­min uraa ja sii­voan nyky­ään ase­ma­tun­ne­lin Hesen vessoja. 

    Mat­kaa oop­pe­ra­ta­lol­le on sen ver­ran, että tuo­hon toi­seen ongel­maan en osaa sanoa kuin että kan­nat­ta ottaa yhteyt­tä Tanskaan.

  12. Hel­poin tapa aja­tel­la tätä lie­nee se, että jäl­kim­mäi­ses­sä tapauk­ses­sa kisan jär­jes­tä­jät tie­tä­vät min­kä mukin alla pal­kin­to on, ja siis avaa­vat jom­man­kum­man niis­tä joi­den­ka alla se *ei* ole. Ei siis ole mah­dol­lis­ta, että he nos­tai­si­vat sen kupin jos­sa pal­kin­to on, vaan he valit­se­vat aina kah­des­ta vaih­toeh­dos­ta (kol­men sijaan). Ratik­ka­ta­pauk­ses­sa taas oli­si kyl­lä ollut mah­dol­lis­ta, että näke­mä­si ratik­ka oli­si ollut nelo­nen, mut­ta niin ei nyt käynyt.

  13. Kos­ka mä en oo vie­lä­kään ymmär­tä­nyt, tei­dän pitää jat­kaa… Ja mikä on kon­fi­gu­raa­tio? Toi ei aina­kaan oo mitään yksin­ker­tas­ta selittämistä. 

    Vas­ta kun mä ymmär­rän, on peli ratkennut. 

    Mikä on muu­ten pal­kin­to? Elina?

  14. B2:sta olen toden­nut itsel­le­ni intui­tii­vi­sim­mak­si seu­raa­van selityksen:

    On kak­si stra­te­gi­aa, “vaih­to” ja “ei vaihtoa”.

    On hel­poh­ko tode­ta, että ensin­mai­nit­tu joh­taa voit­toon aina, kun ensin valit­tu muki on vää­rä. Tämä on asian­lai­ta 2/3 toden­nä­köi­syy­del­lä. Niin ikään jäl­kim­mäi­nen stra­te­gia on voi­to­kas aina, kun on valit­tu heti ker­ral­la oikea muki, mikä tapah­tuu 1/3 todennäköisyydellä.

    Siten kan­nat­taa pela­ta vaih­to­stra­te­gial­la, kos­ka se on 2/3 toden­nä­köi­syy­del­lä voitokas.

  15. B2 päät­te­ly pätee ainoas­taan sii­nä tapauk­ses­sa, että sinul­le on etu­kä­teen ker­rot­tu, että kil­pai­lun jär­jes­tä­jät pal­jas­ta­vat toi­sen mukin. Muu­ten he voi­vat pal­jas­taa toi­sen mukin esi­mer­kik­si vain niis­sä tapauk­sis­sa kun olet valin­nut mukin jos­sa on voitto.

  16. Soi­tin­kin sit­ten itse Kes­ki-Ruot­sin yli­opis­to­to­to­toon. Lupa­si­vat lähet­tää sel­lai­set isot kyl­tit katoil­le lai­tet­ta­vak­si. Niis­tä näkee myös takaa­päin nume­ro, ettei tar­vi las­kea todennäköisyyksiä. 

    Ilmoit­ti­vat vie­lä, että toden­nä­köi­syy­det ovat luul­ta­vas­ti sit­ten­kin sosi­aa­li­nen kon­struk­tio. Todis­tus liit­tyi joten­kin nor­sui­hin. Tai luu­taan. Joka tapauk­ses­sa arvai­lu on kuu­lem­ma toden­nä­köi­ses­ti tyh­mää, kos­ka voi kysyä vaik­ka kuskilta.

    Käsit­tääk­se­ni voi­tin nyt tämän kesä­ki­san. Voi­sit­ko Osmo ilmoit­taa, mis­tä pal­kin­non saa hakea ja pitää­kö olla oma kup­pi mukana?

    1. Kak­kos­päät­te­ly on oikein B‑tapauksessa. Täs­sä voi intuii­tio vähän pet­tää. Tämä teh­tä­vä oli jul­kis­duu­des­sa jokin vuo­si sitten.
      sil­loin arvo­val­tai­set mate­maqa­ti­kot­kin meni­vät halpaan.

  17. Ajat­te­lin­pa tuon vää­rin ensi lukemalta. 

    A‑tehtävä ero­aa B:stä sii­nä, että näh­ty ratik­ka oli­si saat­ta­nut olla nelo­nen, kun taas muki­teh­tä­väs­sä juon­ta­ja nime­no­maan avaa tar­koi­tuk­sel­la kupin, jon­ka alla ei ole mitään.

    Eli A‑tehtävä oli­si ana­lo­gi­nen sel­lai­sen kort­ti­pak­kae­si­mer­kin kans­sa, jos­sa 51 kor­tis­ta satun­nai­ses­ti vali­taan 50 ja mikään niis­tä ei osoit­tau­du pata­äs­säk­si jol­loin toden­nä­köi­syys, että ensin valit­tu kort­ti oli pata­äs­sä kas­vaa 1/52:sta 1/2:een.

  18. Tuo­reen STT:n uuti­sen mukaan junat myö­häs­te­le­vät usei­ta päi­viä. Mat­kus­ta­jal­le on kyl­lä aivan sama on juna tors­tain tai per­jan­tain juna, kun­han se vain tulee oike­aan kellonaikaan.

    1. Tuo B‑tehtävä oli van­ha. Jos­ta­kin syys­tä se oli kui­ten­kin aika­naan onnis­tu­nut sekoit­ta­maan jopa muu­ta­man oikean mate­maa­ti­kon pään. Koko tämän teh­tä­vän juju oli­kin sii­nä, mik­si B‑tehtävän päät­te­ly ei toi­mi A‑tehtävässä. Se oli­si päte­nyt, jos oli­sin saa­nut vas­tauk­sen kysy­myk­seen, onko pysä­kil­lä kol­mo­nen. Myön­tei­nen tai kiel­tei­nen vas­taus tähän kysy­myk­seen ei oli­si muut­ta­nut käsi­tys­tä sii­tä, että toi­nen ratik­ka on nelo­nen toden­nä­köi­syy­del­lä 0,5, mut­ta tie­to, että jäl­kim­mäi­nen rag­tik­ka on kol­mo­nen alen­si nelo­sen toden­nä­köi­syy­den 0,33:een. Tämä on ilmeis­tä, mut­ta se piti osa­ta selit­tää niin että jokai­nen ymmärtää.

  19. Onko tuo B:n teh­tä­vä­ku­vaus riit­tä­vän hyvin mää­ri­tel­ty, so. ker­too­ko se tilan­teen riit­tä­väl­lä tarkkuudella?

    Ole­te­taan että etsi­tään rat­kai­sua todel­li­ses­sa TV-pelis­sä. Miten seu­raa­vien on ole­tus­ten paikkansapitävyys:

    - jär­jes­tä­jä tie­tää min­kä mukin alla lant­ti sijaitsee,
    — jär­jes­tä­jä pyr­kii estä­mään sen että kil­pai­li­ja ei voita,
    — jär­jes­tä­jä ei tie­dä mitä stra­te­gi­aa pelaa­ja noudattaa,
    — pelaa­ja on pai­neen alla, mil­joo­nan sil­mä­pa­rin koh­tee­na, ja hänen on rea­goi­ta­va nopeasti,
    — jär­jes­tä­jä voi halu­tes­saan päät­tää pelin eduk­seen sii­nä tapauk­ses­sa, että pelaa­jan ensim­mäi­nen vali­ta on väärä.

    Teh­tä­vä on toi­sen­lai­nen sii­nä tapauk­ses­sa, että jär­jes­tä­jä ei kes­key­tä peliä, mikä­li pelaa­jan ensim­mäi­nen valin­ta on A.

  20. Mikä­li kil­pai­lun jär­jes­tä­jät pal­jas­ta­vat vää­rän mukin joka tapauk­ses­sa, on päät­te­ly B2 vää­rin. Täs­sä tapauk­ses­sa sinul­la on todel­li­suu­des­sa tasan kak­si mukia mis­tä vali­ta, kol­mas on vain hämäys­tä. Sel­ven­ne­tään asi­aa hie­man esimerkillä.

    Ole­te­taan rahan ole­van mukin A alla. Valit­set mukin A, jär­jes­tä­jä näyt­tää mukin B/C ole­van tyh­jä. Toden­nä­köi­syys 50–50. Valit­set mukin B/C, jär­jes­tä­jä näyt­tää näis­tä sen mitä et valin­nut. Toden­nä­köi­syys edel­leen 50–50.

    Jär­jes­tä­jän stra­te­gia toki vai­kut­taa asi­aan, mikä­li he näyt­tä­vät tyh­jän ainoas­taan valit­tua­si oikean/väärän, riip­puu vaih­don jär­ke­vyys pelat­ta­vas­ta strategiasta.

    Mikä­li jär­jes­tä­jä kään­tää sat­tu­man­va­rai­sen mukin, tie­tä­mät­tä onko sen alla kolik­koa vai ei, on edes­sä uusi toden­nä­köi­syys­las­ku muut­tu­neen tilan­teen joh­dos­ta. 1/3 toden­nä­köi­syy­del­lä kolik­ko on kään­ne­tyn mukin alla, 2/3 toden­nä­köi­syy­del­lä jon­kin muun mukin alla. Rahan olles­sa vali­tun koli­kon alla, peli päät­tyy. Kään­ne­tyn mukin olles­sa tyh­jä, on toden­nä­köi­syys mui­den mukien välil­lä 50–50, eli päät­te­ly B2 ei toi­mi edelleenkään.

    Sum­ma sum­ma­rium, pelat­ta­vas­ta stra­te­gias­ta riip­puen jär­jes­tä­jä vai­kut­taa toden­nä­köi­syy­tee­si pelin alus­ta läh­tien, vaih­to­ti­lan­tees­sa on aina 50–50 toden­nä­köi­syys mikä­li et tun­ne vas­ta­puo­len strategiaa.

  21. Niin­hän se tie­ten­kin on, että toden­nä­köi­syys muut­tuu vain, jos kil­pai­lun jär­jes­tä­jä tie­tää, min­kä kupin alla pal­kin­to on ja toi­mii tie­don perus­teel­la kään­tä­mäl­lä tyh­jän kupin. Vie­lä kil­pai­li­jan täy­tyy tie­tää kaik­ki tuo. Muu­ten toden­nä­köi­syys ei tie­ten­kään muu­tu mik­si­kään kupin kään­tä­mi­sen jälkeen.

    Sii­nä muo­dos­sa kuin Soi­nin­vaa­ra problee­min esit­ti ei voi vie­lä tie­tää oike­aa vas­taus­ta, kos­ka hän ei ker­to­nut täyt­tyi­vät­kö em. ehdot.

    Tämän ker­toi minul­le puhe­li­mes­sa eräs erit­täin älyk­kään oloi­nen tanskalaisnorsu.

  22. Veik­kaan että kyse on vedä­tyk­ses­tä jol­la pyri­tään osoit­ta­maan kuin­ka help­poa ihmi­siä on joh­taa har­haan kun väit­teen sanoo arvos­tet­tu tilas­to­tie­tei­li­jä / polii­tik­ko. Molem­mis­sa vas­taus on 1.

  23. Tuli­pa sekoil­tua ihan ura­kal­la. Eli ensim­mäi­ses­sä stra­te­gias­sa, jos­sa jär­jes­tä­jä näyt­tää aina tyh­jän on vaih­to todel­la­kin kan­nat­ta­va. Eli raha edel­leen mukin A alla.

    Valit­set mukin A, jär­jes­tä­jä näyt­tää mukin B ole­van tyh­jä. Vaih­to ei kan­na­ta. Valit­see mukin B, C tyh­jä => vaih­to kan­nat­taa, sama valit­taes­sa muki C. Eli kol­mes­ta tapauk­ses­ta ainoas­taan yhdes­sä, eli jos­sa ensim­mäi­sek­si valit­tu on oikein, ei vaih­to kan­na­ta. Vaih­to siis kan­nat­taa 2/3 todennäköisyydellä.

  24. San­te­rin päät­te­ly klo 18.17 päi­vä­tys­sä vies­tis­sä ei toi­mi. B‑tehtävän alus­sa on aidos­ti kol­me mukia mis­tä vali­ta. Toden­nä­köi­syys osua oike­aan on 1/3. Ajat­te­let lii­an nopeas­ti lii­an pit­käl­le. Alus­sa kil­pai­li­jal­la ei ole muu­ta tie­toa kuin se, että yksi kol­mes­ta on oikea valin­ta. Ja niin se todel­la onkin ilman mitään “hämäys­tä”.

    Ole­tus stra­te­gias­ta, jos­sa jär­jes­tä­jä avai­si yhden mukin vain tie­tys­sä tilan­tees­sa, ei kuu­lu­nut teh­tä­vään. Ei myös­kään sat­tu­man­va­rai­sen mukin kään­tä­mi­nen, vaan nime­no­maan tyh­jän mukin. Idea­na on antaa kisaa­jal­le lisää tie­toa, jon­ka perus­teel­la toden­nä­köi­syys muuttuu. 

    Asian voi esit­tää näin: kil­pai­li­ja valit­see mukin A. On toden­nä­köi­syys yksi kol­mes­ta, että se on oikein. Kol­me yhtä toden­nä­köis­tä vaih­toeh­toa ovat nämä: 

    1. A oikea, b tyh­jä, c tyhjä.
    2. a tyh­jä, B oikea, c tyhjä.
    3. a tyh­jä, b tyh­jä, C oikea. 

    Täs­sä tilan­tees­sa jär­jes­tä­jä ottaa yhden tyh­jän mukin pois, joko b:n tai c:n, mut­ta siis ei a:ta. Tilan­ne muut­tuu uuden tie­don myö­tä näin, että vaih­toeh­toi­set ase­tel­mat ovat nämä: 

    1. A oikea, jäl­jel­le jää­nyt muki tyhjä
    2. a tyh­jä, B oikea
    3. a tyh­jä, C oikea. 

    Näis­tä kol­mes­ta vaih­toeh­dos­ta onkin nyt kak­si sel­lais­ta, että mukia kan­nat­taa vaih­taa ja vain yhdes­sä tapauk­ses­sa ei kan­na­ta. Sik­si päät­te­ly B2 tosi­aan toimii.

  25. (Kuten jo ker­rot­tu, teh­tä­vä B:ssä pitäi­si parem­min ilmais­ta, että pelin sään­nöt tosi­aan mene­vät niin, että jär­jes­tä­jät tie­tä­vät, mis­sä pal­kin­to on, ja aina oman valin­nan jäl­keen näyt­tä­vät yhden tyh­jän riip­pu­mat­ta sii­tä, oli­ko alku­pe­räi­nen valin­ta oikein vai väärin.)

    Jos nyt lyhyes­ti yri­te­tään tapaus­ten eroa sel­vit­tää, niin point­ti on sii­nä, että teh­tä­väs­sä B pal­jas­ta­jal­la oli tie­to pal­kin­non sijain­nis­ta ja har­ven­nus­ta teh­tiin niin, ettei ollut mah­dol­lis­ta osua pal­kin­toon. Satun­nai­ses­ti näh­ty vau­nu sen sijaan oli­si voi­nut olla se oikea­kin. Sik­si vain vau­nu­ta­pauk­ses­sa toden­nä­köi­syys muuttuu.

  26. San­te­ri Oks­a­sen logiik­ka on hyvin vakuut­ta­va, mut­ta jos muke­ja oli­si­kin mil­joo­na, ja kun olet valin­nut yhden kaik­ki pait­si yksi muis­ta kään­ne­tään, on hyvin hou­kut­te­le­vaa aja­tel­la, että et osu­nut oike­aan 1/1000 000 vaan oikea on se toinen.

  27. Osal­lis­tuak­se­ni var­si­nai­seen kil­pai­luun, täs­sä peda­go­gi­nen demon­straa­tio, jol­la saa ehkä ymmär­tä­mät­tö­mät­kin tajua­maan eron :).

    Ote­taan kol­me kip­poa ja pii­lo­te­taan satun­nai­ses­ti yhden alle pal­kin­to. Toi­nen hen­ki­lö, joka ei tie­dä, mis­sä pal­kin­to on, valit­see yhden kipon ja lait­taa sor­men pääl­le. Tapaus A vas­taa sitä, että kol­mas pal­kin­nos­ta tie­tä­mä­tön valit­see toi­sen jäl­jel­le jää­neis­tä kipois­ta ja avaa sen. Tapaus B vas­taa sitä, että pal­kin­non pii­lot­ta­nut avaa aina tyh­jän kipon tie­täen, ettei voi osua palkintoon.

    Kun mer­ka­taan P=palkinto, T=tyhjä, tapauk­ses­sa A on seu­raa­vat mah­dol­li­suu­det ennen toi­sen kipon sisäl­lön näkemistä:

    PT (1/3 * 1) = 1/3
    TT (2/3 * 1/2) = 1/3
    TP (2/3 * 1/2) = 1/3

    Jos tie­de­tään, että vii­mei­nen ei ole­kaan enää mah­dol­li­nen, jäl­jel­le jää kak­si yhtä toden­nä­köis­tä vaih­toeh­toa PT ja TT, joi­den molem­pien toden­nä­köi­syys on siis 1/2.

    Tapauk­ses­sa B sen sijaan on vain seu­raa­vat vaihtoehdot:

    PT (1/3 * 1) = 1/3
    TT (2/3 * 1) = 2/3

    1. Tapaus B on tul­lut mie­les­tä­ni monen vas­taa­jan kaut­ta hyvin esi­te­tyk­si (huo­mat­ta­koon, että tämä on tuot­ta­nut pään­vai­vaa jopa oikeil­le mate­maa­ti­koil­le, vaik­ka asias­sa ei minun­kaan mie­les­tä­ni ole mitään kum­mal­lis­ta) Tapaus A sen sijaan ei ole auen­nut yhtä hyvin. Jos saan tie­tää, että jäl­kim­mäi­nen rati­kois­ta ei ole nelo­nen, miten se vai­kut­taa asi­aan, kos­ka tie­dän, että toi­nen ei ole. Täs­men­ne­tään ongel­maa tapauk­sel­la C, joka on muu­ten sama kuin A, mut­ta en itse näe rati­kan nume­roi­ta, mut­ta saan muu­ten tie­tää, että pysä­kil­lä on kol­mo­nen, ensim­mäi­se­nä tai toi­se­na. Myös täs­sä tapauk­ses­sa toden­näi­syys sil­le, että pysä­kil­le on myös nelo­nen, on las­ke­nut 33 pro­sent­tiin, vaik­ka minä­hän tie­dän, että vähin­tään toi­nen rati­kois­ta on jokin muu kuin nelo­nen, eikä tie­to mui­den nume­rois­ta ole minul­le miten­kään relevantti. 

  28. Savo­lai­nen: Suat­taa­pi­han tuo olla tai olla ole­mat­tan­nii, tuo toi­nen on kyl­lä kolomonen.
    Täl­löin et oli­si saa­nut hyö­dyl­lis­tä infor­maa­tio­ta, kos­ka savo­lai­nen ei oli­si kui­ten­kaan ker­to­nut sinul­le, vaik­ka pysä­kil­lä oli­si ollut nelo­nen. Savo­lai­ses­ta tie­si jo etu­kä­teen, ettei siel­tä mitään hyö­dyl­lis­tä tie­toa tule. Nyt siis toden­nä­köi­syys, että jom­pi­kum­pi pysä­kil­lä ole­vis­ta on nelo­nen, on edel­leen 50 % ja päät­te­ly 2 oli­si­kin oikein.

    Tuo Har­ri Haan­pään aja­tuk­sen­juok­su vas­ta­si omaa­ni, mut­ta sen täy­tyy olla vää­rin. Jos oli­si tot­ta, että tuon savo­lai­sen pal­jas­tuk­sen jäl­keen oli­si edel­leen 50 pro­sen­tin toden­nä­köi­syys sil­le, että pysä­kil­lä on myös nelo­nen, oli­si sym­met­ri­ses­ti sama 50 pro­sen­tin toden­nä­köi­syys myös sil­lä, että pysä­kil­le on kymp­pi tai seis­ka. Yhteen­sä siis 150 %.

  29. Tie­to sii­tä, että toi­nen rati­kois­ta ei ole nelo­nen, on alun alkaen­kin epä­oleel­li­nen. Vas­taa­vas­ti voi sanoa, että tie­sit alun alken­kin, että 2+2=4 ja 2+2=4 edel­leen­kin uuden infor­maa­tion saa­mi­sen jäl­keen. Sii­tä huo­li­mat­ta sitä uut­ta infor­maa­tio­ta kysy­myk­seen liit­tyen tuli ja kaik­kien vaih­toeh­to­jen luku­mää­rä vähe­ni ja toden­nä­köi­syy­det muut­tui­vat, kun osa sul­jet­tiin pois.

    Yksi tapa aja­tel­la asi­aa on pis­tää kaik­ki 24 yhtä toden­nä­köis­tä per­mu­aa­tio­ta jonoon (1234, 1243, 1324, 1342 jne.). Alun alkaen­kaan ei ole sel­lais­ta vaih­toeh­toa, että kak­si vii­meis­tä oli­si­vat samo­ja. Mut­ta saa­tu infor­maa­tio kar­sii osan pois. 

    Mut­ta nyt lau­an­tai­ta viettämään :).

  30. Luu­len­pa, että Har­rin aja­tuk­sen­juok­su oli kuin oli­kin oikea. Teh­tä­vä oli­si pysy­nyt täs­mäl­leen sama­na, vaik­ka näh­ty ratik­ka oli­si ollut 7 tai 10, mut­ta oli­si muut­tu­nut, jos se oli­si ollut nelo­nen. 4, 7 ja 10 eivät siis ole tasaar­voi­ses­sa asemassa.

  31. Jos sinul­le ker­ro­taan SATTUMANVARAISESTI, että toi­nen on jokin muu kuin nelo­nen, niin sil­loin jäl­jel­le jää yksi ratik­ka ja kol­me vaih­toeh­toa => 33% tod.näk. Sat­tu­man­va­rai­ses­ti ker­rot­tu­na tosin joka nel­jäs ker­ta saat kuul­la, että toi­nen oli nelo­nen, jol­loin odo­tusai­ka­si on joka tapauk­ses­sa maksimi.

    Tämä ero­aa teh­tä­väs­tä B juu­ri tuon klo 20 teke­mä­si lisäyk­sen takia. Sii­nä pal­jas­tus­ta ei teh­dä sattumanvaraisesti.

  32. B‑tapauksen kuvauk­ses­sa pitäi­si mai­ni­ta, että kil­pai­lun jär­jes­tä­jä tie­tää, mis­sä lant­ti on, ja että jär­jes­tä­jä avaa vain kupin, jon­ka alla ei ole kolikkoa.

  33. Tapauk­ses­sa 1 ei voi tul­la mak­si­mi odo­tus­ta, jos vii­mei­se­nä pysä­kil­lä ole­va ratik­ka on joku muu kuin nelo­nen. Kun ker­ran pysä­kil­lä ole­va vii­mei­nen ratik­ka on kol­mo­nen on pisin odo­tusai­ka­kin kolmoseen.

  34. Osmol­le klo 21:02 ja Jaa­kol­le 21:25:

    Niin, nelo­nen ei ole täs­sä sym­met­ri­nen seis­kan ja kym­pin kans­sa, kos­ka aja­tel­tu epä­avu­lias savo­lai­nen aktii­vi­ses­ti vält­tää ker­to­mas­ta nelo­ses­ta mitään, mut­ta seis­kaa ja kymp­piä hän ei samal­la tavoin eri­tyi­ses­ti vältä.

    —–

    Toi­nen tapa aja­tel­la asiaa:
    Nel­jäs­tä ensim­mäi­ses­tä rai­tio­vau­nus­ta yksi on nelo­nen, kukin toden­nä­köi­syy­del­lä 1/4. Nyt sat­tu­moi­sin — ja tämä sat­tu­ma ei miten­kään rii­pu sii­tä, mikä rai­tio­vau­nu on mikä­kin — saam­me tie­tää, että toi­nen rai­tio­vau­nu ei ole nelo­nen. Yksi kol­mes­ta jäl­jel­lä­ole­vas­ta siis on nelo­nen, eikä ole mitään, mikä noi­den mui­den vau­nu­jen sym­met­rian rik­koi­si, joten toden­nä­köi­syys lisä­tie­don jäl­keen on 1/3.

    Tie­to­kil­pai­lue­si­mer­kis­sä taas tyh­jäk­si pal­jas­tet­ta­vaa mukia ei vali­ta satun­nai­ses­ti. Ehkä tämä on se, mikä tie­to­kil­pai­lue­si­mer­kis­sä har­haut­taa intuitiota.

    Tapauk­ses­sa C, jos­sa saat tie­tää, että toi­nen pysä­kil­lä ole­vis­ta vau­nuis­ta on kol­mo­nen, pitäi­si jäl­leen tie­tää, mil­lai­sen pro­ses­sin tulok­se­na saat tie­tää, että pysä­kil­lä on kol­mo­nen. Olet­ko siis saa­nut tie­too­si a) umpi­mäh­käi­sen pysä­kil­lä ole­van vau­nun nume­ron, joka vain sat­tui ole­maan kol­mo­nen b) umpi­mäh­käi­sen pysä­kil­lä ole­van ei-nelo­sen nume­ron c) onko vai eikö pysä­kil­lä ole kolmosta?

    Tapaus C a) on lähin­nä tuo aikai­sem­pi tapaus A1, tapaus C b) on oleel­li­ses­ti tuo epä­avu­lias savo­lai­nen ‑tapaus, ja tapauk­ses­sa C c) voi­tai­siin kuvi­tel­la vaik­ka, että pää­set havain­noi­maan, juok­see­ko kaup­pa­kor­kea­kou­lul­le mat­kal­la ole­va tut­tusi pysäkille.

    Tuo vii­mei­nen C c) oli­si suo­ra­vii­vais­ta ehdol­lis­ta todennäköisyyttä:
    P(pysäkillä on nelo­nen kun tie­de­tään, että pysä­kil­lä on kol­mo­nen) = P(pysäkillä on nelo­nen ja kol­mo­nen) / P(pysäkillä on kolmonen).

    Käsiä hei­lut­taen toden­nä­köi­syys tuos­sa­kin oli­si 1/3: jos pysä­kil­lä on kol­mo­nen, nelo­sel­le on yksi mah­dol­li­nen paik­ka pysä­kil­lä ja kak­si muu­al­la (tai toi­sin aja­tel­len, se toi­nen pysä­kil­lä ole­va vau­nu voi ihan yhtä hyvin olla 4, 7 tai 10 (tämä sym­met­ria-argu­ment­ti toi­mii kivas­ti myös alku­pe­räi­seen tapauk­seen A)).

    1. Teh­tä­vä A oli tar­koi­tet­tu hämäyk­sek­si, muta onnis­tuin het­kek­si hämää­mään myös itse­ni. Hyvä osoi­tus aja­tuk­sen joh­da­tel­ta­vuu­des­ta. Joh­da­tus meni siis näin:
      Kos­ka pysä­kil­lä on kak­si ratik­kaa, vähin­tään yhden niis­tä on olta­va jokin muu kuin nelo­nen. Sik­si tie­don sii­tä, että siel­lä on jokin muu, ei pitäi­si vai­kut­taa nelo­sen toden­nä­köi­syy­teen mitään. Eikä sen­kään, että tuo jokin muu on kol­mo­nen. Jos tie­to sii­tä, että tuo jokin muu on nime­no­maan kol­mo­nen vai­kut­tai­si toden­nä­köi­syy­teen toi­sen olla nelo­nen, sil­loin vai­kut­tai­si myös tie­to sii­tä, että tuo jokin muu on seis­ka tai kymp­pi. Mik­si tie­to sii­tä, mikä on sen toi­sen nume­ro, vai­kut­taa toden­nä­köi­syy­teen, että se toi­nen on nelo­nen. Päät­te­ly on help­po osoit­taa vir­heel­li­sek­si las­ke­mal­la tämä oikien (vaik­ka luet­te­le­mal­la ne 24 per­mu­taa­tio­ta) mut­ta piti siis selit­tää ver­baa­li­ses­ti, mikä pää­te­lys­sä on väärin.

  35. Onnis­tuin selit­tä­mään logii­kan lopul­ta itsel­le­ni ajat­te­le­mal­la lot­toa: Minul­la on kädes­sä yksi lot­to­ri­vi ja vie­rei­sel­lä lave­til­la on loput noin 15,38 mil­joo­naa mah­dol­lis­ta riviä. Arvon­nan jäl­keen ennen tulok­sen jul­kai­sua vir­kai­li­ja hakee lave­til­ta kaik­ki pait­si yhden kupon­gin, sanoo että pois­te­tut rivit eivät voit­ta­neet ja kysyy haluan­ko vaih­taa kupon­kia. Kyse on lopul­ta­kin samas­ta ase­tel­mas­ta mut­ta pie­nem­mäs­sä mit­ta­kaa­vas­sa. Aina oppii jota­kin uutta 🙂

  36. Soi­nin­vaa­ra: “Täs­men­ne­tään ongel­maa tapauk­sel­la C, joka on muu­ten sama kuin A, mut­ta en itse näe rati­kan nume­roi­ta, mut­ta saan muu­ten tie­tää, että pysä­kil­lä on kol­mo­nen, ensim­mäi­se­nä tai toi­se­na. Myös täs­sä tapauk­ses­sa toden­näi­syys sil­le, että pysä­kil­le on myös nelo­nen, on las­ke­nut 33 pro­sent­tiin, vaik­ka minä­hän tie­dän, että vähin­tään toi­nen rati­kois­ta on jokin muu kuin nelo­nen, eikä tie­to mui­den nume­rois­ta ole minul­le miten­kään relevantti.”

    Toden­nä­köi­syys sil­le, että “vähin­tään toi­nen rati­kois­ta on jokin muu kuin nelo­nen” on sama kuin “vähin­tään toi­nen on 3,7 tai 10”. Tie­to sii­tä, että “pysä­kil­lä on kol­mo­nen, ensim­mäi­se­nä tai toi­se­na” tuo sel­väs­ti lisä­tie­toa tilan­tees­ta, sil­lä se tar­ken­taa ensim­mäis­tä väi­tet­tä (vaik­ka lisä­tie­to ei intui­tii­vi­ses­ti vai­ku­ta aut­ta­van), ja sik­si toden­nä­köi­syys muuttuu.

    Ehkä ymmär­ret­tä­vin tapa on teh­tä eri tapauk­sis­ta 4x4-tau­lu­kot, jol­lai­sia on alla yri­tet­ty merk­ki­gra­fii­kal­la. Vaa­ka­suun­nas­sa on ensim­mäi­nen ratik­ka ja pys­ty­suun­nas­sa jälkimmäinen.

    s=suotuisa, mah­dol­li­nen tapaus
    m=mahdollinen, ei-suo­tui­sa tapaus
    e=ei mah­dol­li­nen tapaus

    Toden­nä­köi­syys on luon­nol­li­ses­ti tau­lu­kon suo­tuis­ten solu­jen sum­ma jaet­tu­na mah­dol­lis­ten solu­jen sum­mal­la, eli s/(s+m).

    Tapaus A, alku­ti­lan­ne, tod.näk 6/12=50%
    3470
    3esmm
    4sess
    7msem
    0msme

    Tapaus A, lop­pu­ti­lan­ne, tod.näk 1/3=33%
    3470
    3esmm
    4eeee
    7eeee
    0eeee

    Tapaus C, lop­pu­ti­lan­ne, tod.näk. 2/6=33%
    3470
    3esmm
    4seee
    7meee
    0meee

    Kan­nat­taa huo­ma­ta, että tapaus­ten A ja C lop­pu­ti­lan­ne on eri, vaik­ka toden­nä­köi­syys onkin sama.

  37. Nel­jäs­tä rati­kas­ta {a,b,c,d} voi muo­dos­taa 4 yli 2 eli 6 kah­den osajouk­koa {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}(ratikoiden jär­jes­tyk­sil­lä jou­kois­sa ei ole väliä). Ratik­ka d (Osmon 4) esiin­tyy 3:ssa näis­tä. Siis toden­nä­köi­syys on 3/6 =1/2.
    Jos toi­nen näis­tä on c, niin jäl­jel­le jää 3 vaih­toeh­toa, {a,c},{b,c},{c,d}. Näis­tä vain yksi mah­dol­li­suus on ratik­ka nume­ro d (Osmon esi­mer­kis­sä nume­ro 4). Toden­nä­köi­syys sil­le on siis 1/3.

  38. No siis, jos näh­dään ettei toi­nen (jäl­kim­mäi­nen) ole nelo­nen, niin sil­lä on infor­maa­tio­ar­vo. Jär­jes­te­tyil­lä pareil­la aja­tel­tu­na tämä sel­vi­ää. Itse en osaa aja­tel­la näi­tä muu­ten kuin formaalisti.

  39. Voit­ta­ja on se, joka pys­tyy yksin­ker­tai­sim­min selit­tä­mään, mik­si päät­te­ly 2 on oikein teh­tä­väs­sä B mut­ta ei teh­tä­väs­sä A.

    En nyt ole luke­nut vie­lä vas­tauk­sia, mut­ta jo tämä kysy­mys on minul­le epäselvä. 

    Päät­te­ly kun on minus­ta sama kum­mas­sa­kin tapauk­ses­sa. Ratik­ka­ju­tun alku ei sinän­sä minua hämän­nyt mitenkään.

  40. Vie­lä ker­ran tii­vis­tet­ty­nä lau­an­tai­höy­ry­jen las­keu­dut­tua: se oleel­li­nen ero nois­sa tilan­teis­sa on, että vau­nu­ta­pauk­ses­sa näh­ty vau­nu oli­si voi­nut olla nelo­nen, pal­jas­tet­tu muki sen sijaan ei oli­si voi­nut sisäl­tää pal­kin­toa. Sik­si tilan­ne on eri ja toden­nä­köi­syys muut­tuu vain ensim­mäi­ses­sä tapauk­ses­sa lisäin­for­maa­tion ansiosta.

  41. A‑tehtävässä nelo­sen toden­nä­köi­syys ei itse asias­sa muu­tu jos hen­ki­lö saa tie­tää toi­sen rati­kan nume­ron. Nelo­sen toden­nä­köi­syys on aina yksi nel­jäs­tä. Se voi olla sii­nä ensim­mäi­se­nä, mut­ta yhtä hyvin se saat­taa tul­la viimeisenä. 

    B‑tehtävässä oikean valin­nan toden­nä­köi­syys on aluk­si yksi kol­mes­ta. Jär­jes­tä­jän toi­mit­ta­ma kup­pi­kään­tö muut­taa tilan­net­ta, kos­ka jär­jes­tä­jän ole­te­taan tie­tä­vän, mis­sä kolik­ko on, ja kään­tä­vän aina kupin, jon­ka alla ei ole kolik­koa. Kään­nön jäl­keen alun­pe­rin vali­tun kupin toden­nä­köi­syys on vähäi­sem­pi kuin 1/3. En osaa sanoa, mikä tuo toden­nä­köi­syys­lu­ke­ma olisi.

    Joka tapauk­ses­sa täs­sä on olen­nai­nen ero sikä­li, että ratik­ka­ker­to­muk­ses­sa on tie­don­vä­li­tyk­sen satun­nai­suut­ta, mut­ta kup­pi­ju­tus­sa maa­il­ma ker­too meil­le asioi­den oikeas­ta lai­das­ta. Täs­tä­hän pari kom­men­toi­jaa jo huomautti.

  42. Muki­ta­pauk­ses­sa toden­nä­köi­syys olla A on pie­nem­pi kuin toden­nä­köi­syys olla B tai C eli 1/2. Kun muki B kään­ne­tään ja se on tyh­jä, toden­nä­köi­syys on edel­leen sama kuin alus­sa eli 1/2. Vaih­to kan­nat­taa. Eikös se näin mene.

    Lotos­sa voi kysyä, onko toden­nä­köi­sem­pää, että on joku muu rivi kuin 1,2,3,4,5,6,7 on oikea. Tämä on vähän sama kuin se mukiongelma.

  43. Ratik­ka­ju­tus­sa jäl­jel­le jää­vien vaih­toeh­to­jen toden­nä­köi­syy­det pysy­vät samoi­na suh­tees­sa toi­siin­sa, eli 1/3, 1/3 ja 1/3. Kup­pi­ju­tus­sa toden­nä­köi­syy­det eri­lais­tu­vat, 1/3 ja 2/3, vaik­ka intui­tio vah­vas­ti sanoo­kin, että jos meil­lä ker­ran on kak­si kup­pia, niin oikean valin­nan toden­nä­köi­syys on puo­li­kas. Ja tämä ero joh­tuu sii­tä, että ratik­ka­ta­pauk­ses­sa maa­il­mal­la ei ole pre­fe­rens­se­jä rati­koi­den välil­lä, kun taas kup­pi­ta­pauk­ses­sa pelin sään­nöt kiel­tä­vät jär­jes­tä­jää valit­se­mas­ta kolik­ko­kup­pia. Edel­li­ses­sä mei­tä infor­moi­daan sokeas­ti ja vali­koi­mat­ta, jäl­kim­mäi­ses­sä tie­täen ja harkitusti.

  44. A. Toden­nä­köi­syys, että 4 on pysä­kil­lä, on aluk­si 50 %.
    Jos vika ratik­ka on 4, se onkin 100 %.
    Jos vika ratik­ka on 3, 7 tai 10, se onkin P.

    Mui­ta mahik­sia ei ole, ja kukin tapaus on yhtä toden­nä­köi­nen, joten noi­den tapaus­ten kes­kiar­vo on 50 %, joten P < 50 %.

    (Tar­kem­min: (100 % + 3*P)/4 = 50 % eli P = 33 %.)

    B. Jos raha on A:ssa (1/3), voi­tan vaihtamatta.
    Jos raha on B/C:ssä (2/3), voi­tan vaihtamalla.
    Siis kan­nat­taa vaihtaa.

    C. Mik­si sama A‑logiikka ei kel­paa B:ssä?

    Päin­vas­toin, sama logiik­ka kel­paa: kun kysyit: “onko B tai C vail­la rahaa”, vas­taus ei muut­ta­nut B/C‑todennäköisyyttä P = 2/3 (kos­ka vas­taus ei anta­nut lisä­tie­toa), mut­ta jos oli­sit­kin kysy­nyt: “Onko B vail­la rahaa”, vas­taus oli­si muut­ta­nut B/C‑todennäköisyyttä (ei: 100 %, joo: 50 %).

    D. Joke­ri­ky­sy­mys: mis­sä koh­taa Oden kie­roa A2-perus­te­lua oli vir­he? Vastaus:

    Eka vir­ke:
    “Tie­to sii­tä, että toi­nen ei ole nelo­nen, ei vai­ku­ta toden­nä­köi­syy­teen mitään, kos­ka sen­hän jo tiesin.”

    on valet­ta, kos­ka et tien­nyt, että jäl­kim­mäi­nen ratik­ka on nelo­nen (mikä­li “toi­nen” = “jäl­kim­mäi­nen”).

    Jos taas “toi­nen” tar­koit­taa “jom­pi­kum­pi”, niin koko päät­te­lys­sä­si A2 hyö­dyn­nät vain sitä tie­toa, että jom­pi­kum­pi on ei‑4 (min­kä tie­sit jo kat­so­mat­ta­kin), mut­tet lain­kaan hyö­dyn­nä sitä tie­toa, että jäl­kim­mäi­nen on ei‑4.

    Täl­löin vir­he onkin vikas­sa virk­kees­sä (jon­ka alkuun pitäi­si lisä­tä: “jos ei oli­si mui­ta lisätietoja”).

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *

Notify me of followup comments via e-mail. You can also subscribe without commenting.