Kesäkilpailu

19.6.2010 · Aihe: _ 

Tehtävä A

Tulin ratikka kasilla oopperan pysäkille vaihtaakseni neloseen. Mannerheimintieltä kulkee neljä ratikkalinjaa, 3,4,7 ja 10. Pysäkillä oli kaksi ratikkaa, joiden numeroa en nähnyt. Kumpaankaan noista ratikoista en ehtisi. Todennäköisyys, että toinen noista ratikoista olisi nelonen, oli siis 50 %. Yksinkertaistaen piti tietysti olettaa, että ratikoilla on sama vuoroväli eivätkä vaunut olleet poissa aikataulustaan niin, että pysäkillä voisi olla kaksi samannumeroista ratikkaa peräkkäin. Oli siis 50 prosentin todennäköisyys, että joutuisin odottamaan nelostani maksimiajan.

Sitten näin, että jälkimmäinen ratikoista oli kolmonen.

Päättely 1: Ensimmäinen on siis joko nelonen, seiska tai kymppi. Maksimiodotuksen todennäköisyys on enää 33%.

Päättely 2: Tieto siitä, että toinen ei ole nelonen, ei vaikuta todennäköisyyteen mitään, koska senhän jo tiesin. Sillä ei ole väliä, onko se ei-nelonen ensimmäinen vai toinen eikä silläkään, onko se seiska, kolmonen vai kymppi. Maksimiodotuksen todennäköisyys on yhä 50%.

Tehtävä B

Olet voittanut television tietokilpailussa ja saat valita palkinnon. Eteesi tuodaan kolme väärin päin olevaa mukia, A, B ja C. Yhden niistä alla on raha ja kahden alla ei mitään. Valitset satunnaisesti yhden, sovitaan että se on A. Sen jälkeen kilpailun järjestäjät näyttävät, että mukin B alla ei ole rahaa. Sinulle annetaan mahdollisuus valita uudestaan, vaihtaa siis A:sta C:hen? Kannattaako vaihdos?

Päättely 1: Vaihdosta ei ole hyötyä. On jäljellä kaksi yhtä todennäköistä vaihtoehtoa, A ja C, joista molempien todennäköisyys on 50%.

Päättely 2: Kannattaa vaihtaa, koska todennäköisyys, että raha on mukin A alla on edelleen 1/3, joten raha on todennäköisyydellä 2/3 mukin C alla.

 

Kesäkilpailumme ei koske sitä, mitkä päättelyt ovat oikein, koska se on liian helppo. Oikeat vastaukset ovat A1 ja B2. Nyt kilpailemme pedagogisilla kyvyillä. Voittaja on se, joka pystyy yksinkertaisimmin selittämään, miksi päättely 2 on oikein tehtävässä B mutta ei tehtävässä A.

Ilman ehdollisen todennäköisyyden käsitettäkin pitäisi selvitä, mutta ei sen käyttö kiellettyä ole.

======

Lisäys klo 20.

Minä luulin kirjoittaneeni tehtävä B:n kysymyksenasettelun yksiselitteisesti, mutta se on näköjään tulkittavissa toisinkin. Lisätään siis, että kilpailun järjestäjä näyttää aina tyhjän mukin, koska se kuuluu kilpailun sääntöihin. Järjestäjä myös tietää, missä raha on, muutenhan hän ei voisi kääntää tyhjää mukia.  

 

Kommentit

52 Vastausta artikkeliin “Kesäkilpailu”

  1. Ville kirjoitti 19.6.2010 kello 11:28

    A. Lähtöoletuksin 4 ratikkalinjalla saadaan 6 erilaista 2:n linjan kombinaatiota, joista 3:ssa on mukana nelonen, eli 50%. Jos kuitenkin tiedetään, että toinen on kolmonen, mahdollisuuksia on enää 3, joista yhdessä mukana nelonen eli ~33%. Hämäys on tuossa “senhän jo tiesinkin” kohdassa:) Joka tapauksessa nelosella on lyhin vuoroväli, eli ei ole niin dramaattista, vaikka joutuisi odottamaan pidempäänkin. Ja jos vaihtaa vasta Lasipalatsin edessä, neloseen tulee paremmin tilaa;)

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  2. Ville kirjoitti 19.6.2010 kello 11:37

    (Seiskassa ja kympissä on yleensä paremmin tilaa, eli matkustusmukavuuden kannalta on oikeastaan mukavampi, jos pääsee jommalla kummalla niistä Oopperan pysäkiltä Lasipalatsille.)

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  3. Sam Hardwick kirjoitti 19.6.2010 kello 11:40

    Eivätkö vastaukset A1 ja B2 muistuta toisiaan aika paljon? Molemmissa todennäköisyysavaruutta pienennetään epäsymmetrisesti niin että ei-poissuljettujen vaihtoehtojen todennäköisyys kasvaa. Anyway,

    Intuitiivisempi esimerkki A:

    Linjalla kulkee 100 raitiovaunua, joista pysäkille on seisahtunut 99. Todennäköisyys että 4 on näiden joukossa on 99%. Vaunut ovat jo laittaneet ovensa kiinni, joten sisälle ei pääse. Osmo juoksee ratikkajonon viertä nähdäkseen onko numero 4 juuri lähdössä, jolloin hän joutuu odottamaan maksimimäärän. Nähtyään ensimmäiset 98 vaunua, häneltä on näkemättä enää linjat 4 ja 100. Onko nelosen todennäköisyys muuttunut?

    Intuitiivisempi esimerkki B:

    Eteesi tuodaan 100 väärin päin olevaa mukia, joista yhden alla on rahaa. Valittuasi mukin, kilpailun järjestäjät paljastavat 98 mukia joiden alla ei ole rahaa. Kannattaako nyt vaihtaa mukiin jota ei paljastettu ja jota et valinnut?

    Pedagoginen selitys:

    Kun saat tietää että ensimmäinen ratikka ei ole 4, tulee suljetuksi pois kaikki mahdolliset ratikkakonfiguraatiot joissa ensimmäinen ratikka *on* 4. Näistä tapauksista kaikissa 4 on jossain kohdassa pysäkkiä, kun taas niiden tapausten joukossa jossa 4 ei ole ensimmäinen ratikka löytyy konfiguraatioita joissa 4 ei ole pysäkillä ollenkaan. Tällöin jäljelle jäävissä mahdollisuuksissa on entistä enemmän konfiguraatioita joissa 4 ei ole pysäkillä.

    Mukien tapauksessa sulkiessaan pois sen mahdollisuuden että raha on B:n alla, kilpailun järjestäjät antavat tietoa parista BC (koska muista pareista ei kilpailijan valinnan takia voi antaa tietoa). Ennen paljastusta tapauksessa jossa raha on B:n tai C:n alla, mukia vaihtamalla sai rahat todennäköisyydellä 1/2. Paljastuksen jälkeen rahat saa tällaisessa tapauksessa varmasti. Koska tällaisen tapauksen todennäköisyys on 2/3 (eli positiivinen), paljastus on tehnyt vaihtamisesta kannattavampaa.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  4. Ville kirjoitti 19.6.2010 kello 11:54

    Tehtävässä B kilpailun järjestäjä tietää, missä raha on, ja antaa vaihtomahdollisuuden, koska tietääm, että ensimmäinen valinta oli väärin. Näin saadaan lisää draamaa ja korkeammat katsojaluvut.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  5. Risto kirjoitti 19.6.2010 kello 11:59

    Rakentaisin puukuvaajan.

    Ensimmäisessä tapauksessa on kahdeksan lehteä – raitiovaunu 1 voi olla jokin neljästä linjasta, kuten myös vaunu 2.

    Kun vaunu 1 tiedetään, sulkeutuu kaikki neljä vaunun 1 lehteä sekä yksi vaunun 2 lehti, linja 3. Jäljelle jää kolme lehteä, joista yksi on haettu tapaus.

    Toisessa tapauksessa puu on erilainen: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Monty_tree_door1.svg

    Puulla on vain neljä lehteä. Haarat kuvaavat alkuvalintaa. Jos olet valinnut tyhjän kupin, avaa järjestäjä toisen tyhjän kupin. Mutta jos olet valinnut rahan sisältävän kupin, avaa juontaja jommankumman kahdesta tyhjästä kupista.

    Vaihtamalla voitat siis, jos valitsit alussa väärin ja häviät, jos olit valinnut alussa oikein. Näin vaihdon voittotodennäköisyys on 2/3.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  6. Jaakko Särelä kirjoitti 19.6.2010 kello 12:06

    Tämähän oli kompatehtävä. Vastaus A1 on analoginen vastauksen B2 kanssa, ei toisin päin.

    Tehtävien intuitiiviseen selittämiseen auttaa minusta seuraava esimerkki: minulla on korttipakka, jonka levitän eteesi ja saat valita niistä vapaasti yhden kortin. Sen jälkeen otan 51 kortista 50 pois ja näytän sinulle, ettei mikään niistä ole pataässä. Sitten kysyn, kumpi todennäköisemmin on pataässä: alussa valitsemasi kortti vai se kortti, joka 51 kortista jäi jäljelle. Vastauksen osaavat lähes kaikki intuitiivisesti, vaikkeivät olisi lukeneet todennäköisyysmatematiikkaa yhään.

    Antamani esimerkki on analoginen esittämiesi esimerkkien kanssa, koska olen ainoastaan lisännyt vaihtoehtojen määriä. Jos todennäköisyys muuttuu tässä tehtävässä, se muuttuu myös antamissasi tehtävissä.

    Ja tämä siis minun pedagoginen panokseni tehtäviisi.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  7. Harri Haanpää kirjoitti 19.6.2010 kello 12:17

    Kyse on siitä, antaako saatu lisätieto tosiasiassa jotakin lisätietoa.

    Raitiovaunuesimerkissä ennen kuin saat lisätietoa on selvää, että todennäköisyys, että nelonen on juuri nyt pysäkillä, on 50-50.

    Tietokilpailuesimerkissä ennen kuin saat lisätietoa on selvää, että todennäköisyydellä 1/3 valitsemasi muki on oikea, ja todennäköisyydellä 2/3 jokin muu.

    Raitiovaunuesimerkissä, kun sattumanvaraisesti näet yhden raitiovaunun numeron, saat aidosti hyödyllistä uutta informaatiota. Olisi voinut käydä niinkin, että näkemäsi numero olisi ollut nelonen, mutta niin ei vain tällä kertaa sattunut käymään – olet siis saanut tietoa. Tämän saamasi uuden informaation perusteella voit arvioida tilanteen uudelleen päättelyn 1 mukaisesti.

    Tietokilpailussa et saa todellista lisäinformaatiota siitä, onko raha mukin A vai jonkun muun mukin alla. Siinä aina järjestäjät tahallaan valitsevat näytettäväksi sellaisen kupin B, jonka alla ei ole rahaa, minkä oikeastaan tietää jo etukäteen. Et siis saa mitään uutta informaatiota siitä, onko raha mukin A alla vai ei, joten päättely 2 on oikea.

    SEN SIJAAN jos tietovisailuesimerkissä valittuasi mukin A jostakin sattumanvaraisesta syystä käy niin, että muki B kaatuu ja paljastuu tyhjäksi, tällöin saat uutta informaatiota, koska olisi voinut käydä niinkin, että mukissa B olisi ollut palkinto. Tällöin päättely 1 olisikin oikea.

    Vastaavasti raitiovaunuesimerkissä, jos pysäkillä olisi epäavulias savolainen, joka kyllä tietäisi raitiovaunujen numerot, mutta vastaisi kysymyksiisi välttäen hyödyllisen informaation antamista:
    Osmo: Anteeksi, onkohan jompikumpi näistä raitiovaunuista nelonen?
    Savolainen: Suattaapihan tuo olla tai olla olemattannii, tuo toinen on kyllä kolomonen.
    Tällöin et olisi saanut hyödyllistä informaatiota, koska savolainen ei olisi kuitenkaan kertonut sinulle, vaikka pysäkillä olisi ollut nelonen. Savolaisesta tiesi jo etukäteen, ettei sieltä mitään hyödyllistä tietoa tule. Nyt siis todennäköisyys, että jompikumpi pysäkillä olevista on nelonen, on edelleen 50 % ja päättely 2 olisikin oikein.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  8. Juha T. kirjoitti 19.6.2010 kello 12:31

    Todennäköisyys perustuu aina siihen tietoon, joka on käytettävissä. Molemmissa tapauksissa saadaan tilanteesta lisää tietoa, joka vaikuttaa todennäköisyyteen.

    Mukitapaus on siksi erilainen, että järjestäjät TIETÄVÄT, kumpi muki on varmasti tyhjä ja voidaan näyttää. Järjestäjien tiedon todennäköisyys on 100 %. Kun tästä tiedosta osa kerrotaan kilpailijalle, voidaan laskea uusi todennäköisyys B2.

    Tämän oivaltaminen auttaa tehtävän ymmärtämisessä.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  9. Ken kirjoitti 19.6.2010 kello 12:33

    Erilainen päättely B-tehtävään:

    Jälkimmäisessä tapauksessa on kyseessä pelitilanne, jossa järjestäjät yrittävät maksimoida etunsa (minimoida TV:n menetyksen tai maksimoida pelaajan julkisen häpeän, mikäli sow on TV:ssä).

    Oletus on, että järjestäjät tietävät, missä lantti on.

    Jos pelaaja olisi valinnut mukin, jonka alla ei ole lanttia, järjestäjät olisivat kääntäneet sen: Game over!

    Koska pelaaja valitsi oikean mukin, järjestäjien etuna on saada hänet muuttamaan päätöksensä ja he antavat siihen mahdollisuuden.

    Näillä oletuksin pelaajana en muuttaisi valintaani, vaan pysyisin A:ssa.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  10. tcrown kirjoitti 19.6.2010 kello 12:38

    Voittaja on se, joka pystyy yksinkertaisimmin selittämään,

    Kyllähän tähän yksinkertaisia selityksiä keksii, ongelma on, että suurella osalla ihmisiä ei tunnu olevan kapasiteettia ymmärtää vastausta (äo alle 70?) sen enempää yksinkertaisella kuin monimutkaisella selitykselläkään.

    Kannattaa vaihtaa, koska todennäköisyys, että raha on mukin A alla on edelleen 1/3,

    Minä aikanaan pitkän pohdinnan jälkeen selvitin tämän itselleni ajattelemalla, että mukien B ja C todennäköisyys yhdessä on 2/3. Se, että tuosta mukiparista paljastetaan lisää informaatiota (ei ole B:n alla) ei muuta tuota yhteistodennäköisyyttä.

    (Tehtävänantoa pitää myös tarkentaa niin, että mukin kääntäjä tiesi että muki B on tyhjä. Jos mukin B alla olisi ollut palkinto, muki C olisi kännetty. Eli kolme tapausta: palkinto A:ssa. vaihto ei kannata. Palkinto B:ssä, C käännetään ja vaihto kannattaa. Palkinto C:ssä, B käännetään ja vaihto kannattaa. Eli kaksi kolmesta kerrasta kannattaa vaihtaa.)

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  11. Professori Wikstrand-Pöljä kirjoitti 19.6.2010 kello 13:36

    Ollessani sovelletun taolustieteen assistentti Svenska Mittuniversitetetetetissä (Keski-Ruotsin yliopisto), joka epätodennäköisesti ja yllättäen sijaitsee Pohjois-Tanskassa, me ja juuri me järjestimme tuon kuuluisan kuppikokeen.

    Kokeeseen osallistui toista tuhatta opiskelijaa. Vaivaloisin osa oli järjestää jokainen koehenkilö TV:n visailuohjelmaan. Osa piti lähettää vuosikymmeniksi vieraisiin maihin hankkimaan maan kansalaisuus ja siten visailuoikeus. Turhauttavaa oli myäs, kun tietyissä visailuissa annettiin niin isoja palkintoja (esim. autoja) että ne eivät mahtuneet kunnolla teekuppien alle.

    Julkaisimme viimein tulokset Metaphsics Today -lehdessä marraskuussa 48 vuoden tutkimisen ja parin kahvitauon jälkeen. Sensaatiomaisesti kävi ilmi, että ne, jotka vaihtoivat ensimmäisen kupin käännön jälkeen veikkaustaan, eivät voittaneet yhtään sen useammin kuin ne, jotka pitäytyivät alkuperäisessä arvauksessaan.

    Nyt Keski-Ruotsin yliopisto on aloittanut uuden tutkimuksen selvittääkseen “hvar, i helvet, betjyder dette” (nehän tietty puhuu tanskaa siellä). Käsittääkseni asian selvittämiseksi on yliopistoon jo hankittu 600 elefanttia ja luuta. Tarkemmin en osaa kertoa, koska vaihdoin sittemmin uraa ja siivoan nykyään asematunnelin Hesen vessoja.

    Matkaa oopperatalolle on sen verran, että tuohon toiseen ongelmaan en osaa sanoa kuin että kannatta ottaa yhteyttä Tanskaan.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  12. Janka kirjoitti 19.6.2010 kello 13:38

    Helpoin tapa ajatella tätä lienee se, että jälkimmäisessä tapauksessa kisan järjestäjät tietävät minkä mukin alla palkinto on, ja siis avaavat jommankumman niistä joidenka alla se *ei* ole. Ei siis ole mahdollista, että he nostaisivat sen kupin jossa palkinto on, vaan he valitsevat aina kahdesta vaihtoehdosta (kolmen sijaan). Ratikkatapauksessa taas olisi kyllä ollut mahdollista, että näkemäsi ratikka olisi ollut nelonen, mutta niin ei nyt käynyt.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  13. Elina kirjoitti 19.6.2010 kello 13:50

    Koska mä en oo vieläkään ymmärtänyt, teidän pitää jatkaa… Ja mikä on konfiguraatio? Toi ei ainakaan oo mitään yksinkertasta selittämistä.

    Vasta kun mä ymmärrän, on peli ratkennut.

    Mikä on muuten palkinto? Elina?

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  14. Jaakko Hirvonen kirjoitti 19.6.2010 kello 13:57

    B2:sta olen todennut itselleni intuitiivisimmaksi seuraavan selityksen:

    On kaksi strategiaa, “vaihto” ja “ei vaihtoa”.

    On helpohko todeta, että ensinmainittu johtaa voittoon aina, kun ensin valittu muki on väärä. Tämä on asianlaita 2/3 todennäköisyydellä. Niin ikään jälkimmäinen strategia on voitokas aina, kun on valittu heti kerralla oikea muki, mikä tapahtuu 1/3 todennäköisyydellä.

    Siten kannattaa pelata vaihtostrategialla, koska se on 2/3 todennäköisyydellä voitokas.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  15. Mikko Särelä kirjoitti 19.6.2010 kello 14:06

    B2 päättely pätee ainoastaan siinä tapauksessa, että sinulle on etukäteen kerrottu, että kilpailun järjestäjät paljastavat toisen mukin. Muuten he voivat paljastaa toisen mukin esimerkiksi vain niissä tapauksissa kun olet valinnut mukin jossa on voitto.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  16. Professori Wikstrand-Pöljä kirjoitti 19.6.2010 kello 14:38

    Soitinkin sitten itse Keski-Ruotsin yliopistotototoon. Lupasivat lähettää sellaiset isot kyltit katoille laitettavaksi. Niistä näkee myös takaapäin numero, ettei tarvi laskea todennäköisyyksiä.

    Ilmoittivat vielä, että todennäköisyydet ovat luultavasti sittenkin sosiaalinen konstruktio. Todistus liittyi jotenkin norsuihin. Tai luutaan. Joka tapauksessa arvailu on kuulemma todennäköisesti tyhmää, koska voi kysyä vaikka kuskilta.

    Käsittääkseni voitin nyt tämän kesäkisan. Voisitko Osmo ilmoittaa, mistä palkinnon saa hakea ja pitääkö olla oma kuppi mukana?

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  17. Arto Tukiainen kirjoitti 19.6.2010 kello 14:45

    Onko kakkospäättely oikein B-tapauksessa?

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  18. Osmo Soininvaara kirjoitti 19.6.2010 kello 15:30

    Kakkospäättely on oikein B-tapauksessa. Tässä voi intuiitio vähän pettää. Tämä tehtävä oli julkisduudessa jokin vuosi sitten.
    silloin arvovaltaiset matemaqatikotkin menivät halpaan.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  19. Jaakko Särelä kirjoitti 19.6.2010 kello 15:03

    Ajattelinpa tuon väärin ensi lukemalta.

    A-tehtävä eroaa B:stä siinä, että nähty ratikka olisi saattanut olla nelonen, kun taas mukitehtävässä juontaja nimenomaan avaa tarkoituksella kupin, jonka alla ei ole mitään.

    Eli A-tehtävä olisi analoginen sellaisen korttipakkaesimerkin kanssa, jossa 51 kortista satunnaisesti valitaan 50 ja mikään niistä ei osoittaudu pataässäksi jolloin todennäköisyys, että ensin valittu kortti oli pataässä kasvaa 1/52:sta 1/2:een.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  20. Evert The NeveRest kirjoitti 19.6.2010 kello 15:17

    Tuoreen STT:n uutisen mukaan junat myöhästelevät useita päiviä. Matkustajalle on kyllä aivan sama on juna torstain tai perjantain juna, kunhan se vain tulee oikeaan kellonaikaan.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  21. Mika Lako kirjoitti 19.6.2010 kello 15:44
  22. tcrown kirjoitti 19.6.2010 kello 16:32

    Tämä tehtävä oli julkisduudessa jokin vuosi sitten.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

    Alunperin ilmeisesti 1975.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  23. Osmo Soininvaara kirjoitti 19.6.2010 kello 17:31

    Tuo B-tehtävä oli vanha. Jostakin syystä se oli kuitenkin aikanaan onnistunut sekoittamaan jopa muutaman oikean matemaatikon pään. Koko tämän tehtävän juju olikin siinä, miksi B-tehtävän päättely ei toimi A-tehtävässä. Se olisi pätenyt, jos olisin saanut vastauksen kysymykseen, onko pysäkillä kolmonen. Myönteinen tai kielteinen vastaus tähän kysymykseen ei olisi muuttanut käsitystä siitä, että toinen ratikka on nelonen todennäköisyydellä 0,5, mutta tieto, että jälkimmäinen ragtikka on kolmonen alensi nelosen todennäköisyyden 0,33:een. Tämä on ilmeistä, mutta se piti osata selittää niin että jokainen ymmärtää.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  24. Ken kirjoitti 19.6.2010 kello 17:19

    Onko tuo B:n tehtäväkuvaus riittävän hyvin määritelty, so. kertooko se tilanteen riittävällä tarkkuudella?

    Oletetaan että etsitään ratkaisua todellisessa TV-pelissä. Miten seuraavien on oletusten paikkansapitävyys:

    – järjestäjä tietää minkä mukin alla lantti sijaitsee,
    – järjestäjä pyrkii estämään sen että kilpailija ei voita,
    – järjestäjä ei tiedä mitä strategiaa pelaaja noudattaa,
    – pelaaja on paineen alla, miljoonan silmäparin kohteena, ja hänen on reagoitava nopeasti,
    – järjestäjä voi halutessaan päättää pelin edukseen siinä tapauksessa, että pelaajan ensimmäinen valita on väärä.

    Tehtävä on toisenlainen siinä tapauksessa, että järjestäjä ei keskeytä peliä, mikäli pelaajan ensimmäinen valinta on A.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  25. Santeri Oksanen kirjoitti 19.6.2010 kello 18:17

    Mikäli kilpailun järjestäjät paljastavat väärän mukin joka tapauksessa, on päättely B2 väärin. Tässä tapauksessa sinulla on todellisuudessa tasan kaksi mukia mistä valita, kolmas on vain hämäystä. Selvennetään asiaa hieman esimerkillä.

    Oletetaan rahan olevan mukin A alla. Valitset mukin A, järjestäjä näyttää mukin B/C olevan tyhjä. Todennäköisyys 50-50. Valitset mukin B/C, järjestäjä näyttää näistä sen mitä et valinnut. Todennäköisyys edelleen 50-50.

    Järjestäjän strategia toki vaikuttaa asiaan, mikäli he näyttävät tyhjän ainoastaan valittuasi oikean/väärän, riippuu vaihdon järkevyys pelattavasta strategiasta.

    Mikäli järjestäjä kääntää sattumanvaraisen mukin, tietämättä onko sen alla kolikkoa vai ei, on edessä uusi todennäköisyyslasku muuttuneen tilanteen johdosta. 1/3 todennäköisyydellä kolikko on käännetyn mukin alla, 2/3 todennäköisyydellä jonkin muun mukin alla. Rahan ollessa valitun kolikon alla, peli päättyy. Käännetyn mukin ollessa tyhjä, on todennäköisyys muiden mukien välillä 50-50, eli päättely B2 ei toimi edelleenkään.

    Summa summarium, pelattavasta strategiasta riippuen järjestäjä vaikuttaa todennäköisyyteesi pelin alusta lähtien, vaihtotilanteessa on aina 50-50 todennäköisyys mikäli et tunne vastapuolen strategiaa.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  26. Professori Wikstrand-Pöljä kirjoitti 19.6.2010 kello 18:49

    Niinhän se tietenkin on, että todennäköisyys muuttuu vain, jos kilpailun järjestäjä tietää, minkä kupin alla palkinto on ja toimii tiedon perusteella kääntämällä tyhjän kupin. Vielä kilpailijan täytyy tietää kaikki tuo. Muuten todennäköisyys ei tietenkään muutu miksikään kupin kääntämisen jälkeen.

    Siinä muodossa kuin Soininvaara probleemin esitti ei voi vielä tietää oikeaa vastausta, koska hän ei kertonut täyttyivätkö em. ehdot.

    Tämän kertoi minulle puhelimessa eräs erittäin älykkään oloinen tanskalaisnorsu.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  27. TimoJ kirjoitti 19.6.2010 kello 18:51

    Veikkaan että kyse on vedätyksestä jolla pyritään osoittamaan kuinka helppoa ihmisiä on johtaa harhaan kun väitteen sanoo arvostettu tilastotieteilijä / poliitikko. Molemmissa vastaus on 1.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  28. Santeri Oksanen kirjoitti 19.6.2010 kello 19:21

    Tulipa sekoiltua ihan urakalla. Eli ensimmäisessä strategiassa, jossa järjestäjä näyttää aina tyhjän on vaihto todellakin kannattava. Eli raha edelleen mukin A alla.

    Valitset mukin A, järjestäjä näyttää mukin B olevan tyhjä. Vaihto ei kannata. Valitsee mukin B, C tyhjä => vaihto kannattaa, sama valittaessa muki C. Eli kolmesta tapauksesta ainoastaan yhdessä, eli jossa ensimmäiseksi valittu on oikein, ei vaihto kannata. Vaihto siis kannattaa 2/3 todennäköisyydellä.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  29. Juha T. kirjoitti 19.6.2010 kello 19:28

    Santerin päättely klo 18.17 päivätyssä viestissä ei toimi. B-tehtävän alussa on aidosti kolme mukia mistä valita. Todennäköisyys osua oikeaan on 1/3. Ajattelet liian nopeasti liian pitkälle. Alussa kilpailijalla ei ole muuta tietoa kuin se, että yksi kolmesta on oikea valinta. Ja niin se todella onkin ilman mitään “hämäystä”.

    Oletus strategiasta, jossa järjestäjä avaisi yhden mukin vain tietyssä tilanteessa, ei kuulunut tehtävään. Ei myöskään sattumanvaraisen mukin kääntäminen, vaan nimenomaan tyhjän mukin. Ideana on antaa kisaajalle lisää tietoa, jonka perusteella todennäköisyys muuttuu.

    Asian voi esittää näin: kilpailija valitsee mukin A. On todennäköisyys yksi kolmesta, että se on oikein. Kolme yhtä todennäköistä vaihtoehtoa ovat nämä:

    1. A oikea, b tyhjä, c tyhjä.
    2. a tyhjä, B oikea, c tyhjä.
    3. a tyhjä, b tyhjä, C oikea.

    Tässä tilanteessa järjestäjä ottaa yhden tyhjän mukin pois, joko b:n tai c:n, mutta siis ei a:ta. Tilanne muuttuu uuden tiedon myötä näin, että vaihtoehtoiset asetelmat ovat nämä:

    1. A oikea, jäljelle jäänyt muki tyhjä
    2. a tyhjä, B oikea
    3. a tyhjä, C oikea.

    Näistä kolmesta vaihtoehdosta onkin nyt kaksi sellaista, että mukia kannattaa vaihtaa ja vain yhdessä tapauksessa ei kannata. Siksi päättely B2 tosiaan toimii.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  30. Foobar kirjoitti 19.6.2010 kello 19:42

    (Kuten jo kerrottu, tehtävä B:ssä pitäisi paremmin ilmaista, että pelin säännöt tosiaan menevät niin, että järjestäjät tietävät, missä palkinto on, ja aina oman valinnan jälkeen näyttävät yhden tyhjän riippumatta siitä, oliko alkuperäinen valinta oikein vai väärin.)

    Jos nyt lyhyesti yritetään tapausten eroa selvittää, niin pointti on siinä, että tehtävässä B paljastajalla oli tieto palkinnon sijainnista ja harvennusta tehtiin niin, ettei ollut mahdollista osua palkintoon. Satunnaisesti nähty vaunu sen sijaan olisi voinut olla se oikeakin. Siksi vain vaunutapauksessa todennäköisyys muuttuu.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  31. Ville kirjoitti 19.6.2010 kello 19:50

    Santeri Oksasen logiikka on hyvin vakuuttava, mutta jos mukeja olisikin miljoona, ja kun olet valinnut yhden kaikki paitsi yksi muista käännetään, on hyvin houkuttelevaa ajatella, että et osunut oikeaan 1/1000 000 vaan oikea on se toinen.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  32. Foobar kirjoitti 19.6.2010 kello 20:18

    Osallistuakseni varsinaiseen kilpailuun, tässä pedagoginen demonstraatio, jolla saa ehkä ymmärtämättömätkin tajuamaan eron :).

    Otetaan kolme kippoa ja piilotetaan satunnaisesti yhden alle palkinto. Toinen henkilö, joka ei tiedä, missä palkinto on, valitsee yhden kipon ja laittaa sormen päälle. Tapaus A vastaa sitä, että kolmas palkinnosta tietämätön valitsee toisen jäljelle jääneistä kipoista ja avaa sen. Tapaus B vastaa sitä, että palkinnon piilottanut avaa aina tyhjän kipon tietäen, ettei voi osua palkintoon.

    Kun merkataan P=palkinto, T=tyhjä, tapauksessa A on seuraavat mahdollisuudet ennen toisen kipon sisällön näkemistä:

    PT (1/3 * 1) = 1/3
    TT (2/3 * 1/2) = 1/3
    TP (2/3 * 1/2) = 1/3

    Jos tiedetään, että viimeinen ei olekaan enää mahdollinen, jäljelle jää kaksi yhtä todennäköistä vaihtoehtoa PT ja TT, joiden molempien todennäköisyys on siis 1/2.

    Tapauksessa B sen sijaan on vain seuraavat vaihtoehdot:

    PT (1/3 * 1) = 1/3
    TT (2/3 * 1) = 2/3

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  33. Osmo Soininvaara kirjoitti 19.6.2010 kello 20:33

    Tapaus B on tullut mielestäni monen vastaajan kautta hyvin esitetyksi (huomattakoon, että tämä on tuottanut päänvaivaa jopa oikeille matemaatikoille, vaikka asiassa ei minunkaan mielestäni ole mitään kummallista) Tapaus A sen sijaan ei ole auennut yhtä hyvin. Jos saan tietää, että jälkimmäinen ratikoista ei ole nelonen, miten se vaikuttaa asiaan, koska tiedän, että toinen ei ole. Täsmennetään ongelmaa tapauksella C, joka on muuten sama kuin A, mutta en itse näe ratikan numeroita, mutta saan muuten tietää, että pysäkillä on kolmonen, ensimmäisenä tai toisena. Myös tässä tapauksessa todennäisyys sille, että pysäkille on myös nelonen, on laskenut 33 prosenttiin, vaikka minähän tiedän, että vähintään toinen ratikoista on jokin muu kuin nelonen, eikä tieto muiden numeroista ole minulle mitenkään relevantti.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  34. Osmo Soininvaara kirjoitti 19.6.2010 kello 21:02

    Savolainen: Suattaapihan tuo olla tai olla olemattannii, tuo toinen on kyllä kolomonen.
    Tällöin et olisi saanut hyödyllistä informaatiota, koska savolainen ei olisi kuitenkaan kertonut sinulle, vaikka pysäkillä olisi ollut nelonen. Savolaisesta tiesi jo etukäteen, ettei sieltä mitään hyödyllistä tietoa tule. Nyt siis todennäköisyys, että jompikumpi pysäkillä olevista on nelonen, on edelleen 50 % ja päättely 2 olisikin oikein.

    Tuo Harri Haanpään ajatuksenjuoksu vastasi omaani, mutta sen täytyy olla väärin. Jos olisi totta, että tuon savolaisen paljastuksen jälkeen olisi edelleen 50 prosentin todennäköisyys sille, että pysäkillä on myös nelonen, olisi symmetrisesti sama 50 prosentin todennäköisyys myös sillä, että pysäkille on kymppi tai seiska. Yhteensä siis 150 %.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  35. Foobar kirjoitti 19.6.2010 kello 21:14

    Tieto siitä, että toinen ratikoista ei ole nelonen, on alun alkaenkin epäoleellinen. Vastaavasti voi sanoa, että tiesit alun alkenkin, että 2+2=4 ja 2+2=4 edelleenkin uuden informaation saamisen jälkeen. Siitä huolimatta sitä uutta informaatiota kysymykseen liittyen tuli ja kaikkien vaihtoehtojen lukumäärä väheni ja todennäköisyydet muuttuivat, kun osa suljettiin pois.

    Yksi tapa ajatella asiaa on pistää kaikki 24 yhtä todennäköistä permuaatiota jonoon (1234, 1243, 1324, 1342 jne.). Alun alkaenkaan ei ole sellaista vaihtoehtoa, että kaksi viimeistä olisivat samoja. Mutta saatu informaatio karsii osan pois.

    Mutta nyt lauantaita viettämään :).

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  36. Jaakko Särelä kirjoitti 19.6.2010 kello 21:25

    Luulenpa, että Harrin ajatuksenjuoksu oli kuin olikin oikea. Tehtävä olisi pysynyt täsmälleen samana, vaikka nähty ratikka olisi ollut 7 tai 10, mutta olisi muuttunut, jos se olisi ollut nelonen. 4, 7 ja 10 eivät siis ole tasaarvoisessa asemassa.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  37. e.e.maa kirjoitti 19.6.2010 kello 21:34

    Jos sinulle kerrotaan SATTUMANVARAISESTI, että toinen on jokin muu kuin nelonen, niin silloin jäljelle jää yksi ratikka ja kolme vaihtoehtoa => 33% tod.näk. Sattumanvaraisesti kerrottuna tosin joka neljäs kerta saat kuulla, että toinen oli nelonen, jolloin odotusaikasi on joka tapauksessa maksimi.

    Tämä eroaa tehtävästä B juuri tuon klo 20 tekemäsi lisäyksen takia. Siinä paljastusta ei tehdä sattumanvaraisesti.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  38. Arto Tukiainen kirjoitti 19.6.2010 kello 21:49

    B-tapauksen kuvauksessa pitäisi mainita, että kilpailun järjestäjä tietää, missä lantti on, ja että järjestäjä avaa vain kupin, jonka alla ei ole kolikkoa.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  39. Pikkumyy kirjoitti 19.6.2010 kello 23:05

    Tapauksessa 1 ei voi tulla maksimi odotusta, jos viimeisenä pysäkillä oleva ratikka on joku muu kuin nelonen. Kun kerran pysäkillä oleva viimeinen ratikka on kolmonen on pisin odotusaikakin kolmoseen.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  40. Harri Haanpää kirjoitti 19.6.2010 kello 23:30

    Osmolle klo 21:02 ja Jaakolle 21:25:

    Niin, nelonen ei ole tässä symmetrinen seiskan ja kympin kanssa, koska ajateltu epäavulias savolainen aktiivisesti välttää kertomasta nelosesta mitään, mutta seiskaa ja kymppiä hän ei samalla tavoin erityisesti vältä.

    —–

    Toinen tapa ajatella asiaa:
    Neljästä ensimmäisestä raitiovaunusta yksi on nelonen, kukin todennäköisyydellä 1/4. Nyt sattumoisin – ja tämä sattuma ei mitenkään riipu siitä, mikä raitiovaunu on mikäkin – saamme tietää, että toinen raitiovaunu ei ole nelonen. Yksi kolmesta jäljelläolevasta siis on nelonen, eikä ole mitään, mikä noiden muiden vaunujen symmetrian rikkoisi, joten todennäköisyys lisätiedon jälkeen on 1/3.

    Tietokilpailuesimerkissä taas tyhjäksi paljastettavaa mukia ei valita satunnaisesti. Ehkä tämä on se, mikä tietokilpailuesimerkissä harhauttaa intuitiota.

    Tapauksessa C, jossa saat tietää, että toinen pysäkillä olevista vaunuista on kolmonen, pitäisi jälleen tietää, millaisen prosessin tuloksena saat tietää, että pysäkillä on kolmonen. Oletko siis saanut tietoosi a) umpimähkäisen pysäkillä olevan vaunun numeron, joka vain sattui olemaan kolmonen b) umpimähkäisen pysäkillä olevan ei-nelosen numeron c) onko vai eikö pysäkillä ole kolmosta?

    Tapaus C a) on lähinnä tuo aikaisempi tapaus A1, tapaus C b) on oleellisesti tuo epäavulias savolainen -tapaus, ja tapauksessa C c) voitaisiin kuvitella vaikka, että pääset havainnoimaan, juokseeko kauppakorkeakoululle matkalla oleva tuttusi pysäkille.

    Tuo viimeinen C c) olisi suoraviivaista ehdollista todennäköisyyttä:
    P(pysäkillä on nelonen kun tiedetään, että pysäkillä on kolmonen) = P(pysäkillä on nelonen ja kolmonen) / P(pysäkillä on kolmonen).

    Käsiä heiluttaen todennäköisyys tuossakin olisi 1/3: jos pysäkillä on kolmonen, neloselle on yksi mahdollinen paikka pysäkillä ja kaksi muualla (tai toisin ajatellen, se toinen pysäkillä oleva vaunu voi ihan yhtä hyvin olla 4, 7 tai 10 (tämä symmetria-argumentti toimii kivasti myös alkuperäiseen tapaukseen A)).

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  41. Osmo Soininvaara kirjoitti 20.6.2010 kello 8:01

    Tehtävä A oli tarkoitettu hämäykseksi, muta onnistuin hetkeksi hämäämään myös itseni. Hyvä osoitus ajatuksen johdateltavuudesta. Johdatus meni siis näin:
    Koska pysäkillä on kaksi ratikkaa, vähintään yhden niistä on oltava jokin muu kuin nelonen. Siksi tiedon siitä, että siellä on jokin muu, ei pitäisi vaikuttaa nelosen todennäköisyyteen mitään. Eikä senkään, että tuo jokin muu on kolmonen. Jos tieto siitä, että tuo jokin muu on nimenomaan kolmonen vaikuttaisi todennäköisyyteen toisen olla nelonen, silloin vaikuttaisi myös tieto siitä, että tuo jokin muu on seiska tai kymppi. Miksi tieto siitä, mikä on sen toisen numero, vaikuttaa todennäköisyyteen, että se toinen on nelonen. Päättely on helppo osoittaa virheelliseksi laskemalla tämä oikien (vaikka luettelemalla ne 24 permutaatiota) mutta piti siis selittää verbaalisesti, mikä päätelyssä on väärin.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  42. TimoJ kirjoitti 19.6.2010 kello 23:51

    Onnistuin selittämään logiikan lopulta itselleni ajattelemalla lottoa: Minulla on kädessä yksi lottorivi ja viereisellä lavetilla on loput noin 15,38 miljoonaa mahdollista riviä. Arvonnan jälkeen ennen tuloksen julkaisua virkailija hakee lavetilta kaikki paitsi yhden kupongin, sanoo että poistetut rivit eivät voittaneet ja kysyy haluanko vaihtaa kuponkia. Kyse on lopultakin samasta asetelmasta mutta pienemmässä mittakaavassa. Aina oppii jotakin uutta 🙂

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  43. Olli Vihervuori kirjoitti 20.6.2010 kello 0:10

    Soininvaara: “Täsmennetään ongelmaa tapauksella C, joka on muuten sama kuin A, mutta en itse näe ratikan numeroita, mutta saan muuten tietää, että pysäkillä on kolmonen, ensimmäisenä tai toisena. Myös tässä tapauksessa todennäisyys sille, että pysäkille on myös nelonen, on laskenut 33 prosenttiin, vaikka minähän tiedän, että vähintään toinen ratikoista on jokin muu kuin nelonen, eikä tieto muiden numeroista ole minulle mitenkään relevantti.”

    Todennäköisyys sille, että “vähintään toinen ratikoista on jokin muu kuin nelonen” on sama kuin “vähintään toinen on 3,7 tai 10”. Tieto siitä, että “pysäkillä on kolmonen, ensimmäisenä tai toisena” tuo selvästi lisätietoa tilanteesta, sillä se tarkentaa ensimmäistä väitettä (vaikka lisätieto ei intuitiivisesti vaikuta auttavan), ja siksi todennäköisyys muuttuu.

    Ehkä ymmärrettävin tapa on tehtä eri tapauksista 4×4-taulukot, jollaisia on alla yritetty merkkigrafiikalla. Vaakasuunnassa on ensimmäinen ratikka ja pystysuunnassa jälkimmäinen.

    s=suotuisa, mahdollinen tapaus
    m=mahdollinen, ei-suotuisa tapaus
    e=ei mahdollinen tapaus

    Todennäköisyys on luonnollisesti taulukon suotuisten solujen summa jaettuna mahdollisten solujen summalla, eli s/(s+m).

    Tapaus A, alkutilanne, tod.näk 6/12=50%
    3470
    3esmm
    4sess
    7msem
    0msme

    Tapaus A, lopputilanne, tod.näk 1/3=33%
    3470
    3esmm
    4eeee
    7eeee
    0eeee

    Tapaus C, lopputilanne, tod.näk. 2/6=33%
    3470
    3esmm
    4seee
    7meee
    0meee

    Kannattaa huomata, että tapausten A ja C lopputilanne on eri, vaikka todennäköisyys onkin sama.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  44. Gc kirjoitti 20.6.2010 kello 8:09

    Neljästä ratikasta {a,b,c,d} voi muodostaa 4 yli 2 eli 6 kahden osajoukkoa {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}(ratikoiden järjestyksillä joukoissa ei ole väliä). Ratikka d (Osmon 4) esiintyy 3:ssa näistä. Siis todennäköisyys on 3/6 =1/2.
    Jos toinen näistä on c, niin jäljelle jää 3 vaihtoehtoa, {a,c},{b,c},{c,d}. Näistä vain yksi mahdollisuus on ratikka numero d (Osmon esimerkissä numero 4). Todennäköisyys sille on siis 1/3.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  45. Gc kirjoitti 20.6.2010 kello 8:38

    No siis, jos nähdään ettei toinen (jälkimmäinen) ole nelonen, niin sillä on informaatioarvo. Järjestetyillä pareilla ajateltuna tämä selviää. Itse en osaa ajatella näitä muuten kuin formaalisti.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  46. Elina kirjoitti 20.6.2010 kello 8:55

    Voittaja on se, joka pystyy yksinkertaisimmin selittämään, miksi päättely 2 on oikein tehtävässä B mutta ei tehtävässä A.

    En nyt ole lukenut vielä vastauksia, mutta jo tämä kysymys on minulle epäselvä.

    Päättely kun on minusta sama kummassakin tapauksessa. Ratikkajutun alku ei sinänsä minua hämännyt mitenkään.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  47. Foobar kirjoitti 20.6.2010 kello 11:25

    Vielä kerran tiivistettynä lauantaihöyryjen laskeuduttua: se oleellinen ero noissa tilanteissa on, että vaunutapauksessa nähty vaunu olisi voinut olla nelonen, paljastettu muki sen sijaan ei olisi voinut sisältää palkintoa. Siksi tilanne on eri ja todennäköisyys muuttuu vain ensimmäisessä tapauksessa lisäinformaation ansiosta.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  48. Arto Tukiainen kirjoitti 20.6.2010 kello 13:27

    A-tehtävässä nelosen todennäköisyys ei itse asiassa muutu jos henkilö saa tietää toisen ratikan numeron. Nelosen todennäköisyys on aina yksi neljästä. Se voi olla siinä ensimmäisenä, mutta yhtä hyvin se saattaa tulla viimeisenä.

    B-tehtävässä oikean valinnan todennäköisyys on aluksi yksi kolmesta. Järjestäjän toimittama kuppikääntö muuttaa tilannetta, koska järjestäjän oletetaan tietävän, missä kolikko on, ja kääntävän aina kupin, jonka alla ei ole kolikkoa. Käännön jälkeen alunperin valitun kupin todennäköisyys on vähäisempi kuin 1/3. En osaa sanoa, mikä tuo todennäköisyyslukema olisi.

    Joka tapauksessa tässä on olennainen ero sikäli, että ratikkakertomuksessa on tiedonvälityksen satunnaisuutta, mutta kuppijutussa maailma kertoo meille asioiden oikeasta laidasta. Tästähän pari kommentoijaa jo huomautti.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  49. Arto Tukiainen kirjoitti 20.6.2010 kello 18:41

    Höpertelin älyttömiä. Kyllähän tieto toisesta ratikasta nostaa nelosen todennäköisyyttä.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  50. jouni lundqvist kirjoitti 21.6.2010 kello 6:51

    Mukitapauksessa todennäköisyys olla A on pienempi kuin todennäköisyys olla B tai C eli 1/2. Kun muki B käännetään ja se on tyhjä, todennäköisyys on edelleen sama kuin alussa eli 1/2. Vaihto kannattaa. Eikös se näin mene.

    Lotossa voi kysyä, onko todennäköisempää, että on joku muu rivi kuin 1,2,3,4,5,6,7 on oikea. Tämä on vähän sama kuin se mukiongelma.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  51. Arto Tukiainen kirjoitti 22.6.2010 kello 6:48

    Ratikkajutussa jäljelle jäävien vaihtoehtojen todennäköisyydet pysyvät samoina suhteessa toisiinsa, eli 1/3, 1/3 ja 1/3. Kuppijutussa todennäköisyydet erilaistuvat, 1/3 ja 2/3, vaikka intuitio vahvasti sanookin, että jos meillä kerran on kaksi kuppia, niin oikean valinnan todennäköisyys on puolikas. Ja tämä ero johtuu siitä, että ratikkatapauksessa maailmalla ei ole preferenssejä ratikoiden välillä, kun taas kuppitapauksessa pelin säännöt kieltävät järjestäjää valitsemasta kolikkokuppia. Edellisessä meitä informoidaan sokeasti ja valikoimatta, jälkimmäisessä tietäen ja harkitusti.

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

  52. Kalle M kirjoitti 30.6.2010 kello 9:56

    A. Todennäköisyys, että 4 on pysäkillä, on aluksi 50 %.
    Jos vika ratikka on 4, se onkin 100 %.
    Jos vika ratikka on 3, 7 tai 10, se onkin P.

    Muita mahiksia ei ole, ja kukin tapaus on yhtä todennäköinen, joten noiden tapausten keskiarvo on 50 %, joten P < 50 %.

    (Tarkemmin: (100 % + 3*P)/4 = 50 % eli P = 33 %.)

    B. Jos raha on A:ssa (1/3), voitan vaihtamatta.
    Jos raha on B/C:ssä (2/3), voitan vaihtamalla.
    Siis kannattaa vaihtaa.

    C. Miksi sama A-logiikka ei kelpaa B:ssä?

    Päinvastoin, sama logiikka kelpaa: kun kysyit: "onko B tai C vailla rahaa", vastaus ei muuttanut B/C-todennäköisyyttä P = 2/3 (koska vastaus ei antanut lisätietoa), mutta jos olisitkin kysynyt: "Onko B vailla rahaa", vastaus olisi muuttanut B/C-todennäköisyyttä (ei: 100 %, joo: 50 %).

    D. Jokerikysymys: missä kohtaa Oden kieroa A2-perustelua oli virhe? Vastaus:

    Eka virke:
    "Tieto siitä, että toinen ei ole nelonen, ei vaikuta todennäköisyyteen mitään, koska senhän jo tiesin."

    on valetta, koska et tiennyt, että jälkimmäinen ratikka on nelonen (mikäli "toinen" = "jälkimmäinen").

    Jos taas "toinen" tarkoittaa "jompikumpi", niin koko päättelyssäsi A2 hyödynnät vain sitä tietoa, että jompikumpi on ei-4 (minkä tiesit jo katsomattakin), muttet lainkaan hyödynnä sitä tietoa, että jälkimmäinen on ei-4.

    Tällöin virhe onkin vikassa virkkeessä (jonka alkuun pitäisi lisätä: "jos ei olisi muita lisätietoja").

      (lainaa tätä viestiä vastaukseesi)

Jätä vastaus